Números Irracionais Notáveis — π, e e φ

Atualizado em 23 de agosto de 2025 • Leitura: ~15 min • Conteúdo completo com teoria, aplicações e exercícios

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O que são números irracionais notáveis

Números irracionais notáveis são constantes matemáticas fundamentais que não podem ser expressas como frações exatas. Eles possuem infinitas casas decimais não periódicas e aparecem frequentemente em fórmulas, cálculos e fenômenos da natureza.

O número π

O número π (pi) é definido como a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo:

\[ π = \frac{C}{d} \approx 3,14159… \]

Principais propriedades

É um número irracional e transcendental.
Presente em fórmulas de áreas, volumes e trigonometria.
Exemplo: Área do círculo \(A=πr^2\).

O número e

O número e, chamado número de Euler, é definido como:

\[ e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2,71828… \]

Principais propriedades

Base dos logaritmos naturais (\(\ln\)).
Relaciona-se ao crescimento exponencial e juros compostos.
Exemplo: \(A=P \cdot e^{rt}\), fórmula de crescimento contínuo.

O número φ

O φ (phi), ou número de ouro, é definido por:

\[ φ=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,61803… \]

Principais propriedades

Relaciona-se à proporção áurea encontrada na arte, arquitetura e natureza.
Satisfaz a equação: \(φ^2=φ+1\).
Aparece na sequência de Fibonacci: \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=φ\).

Principais aplicações

π: cálculos geométricos, áreas, volumes e trigonometria.
e: modelagem de crescimento, probabilidade e estatística.
φ: proporções na natureza, design e arte.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Circunferência

Solução

Para um círculo de raio \(r=7\) cm: \(C=2πr≈2\cdot3,1416\cdot7≈43,98\) cm.

Exemplo 2 — Juros compostos contínuos

Solução

\(A=1000\cdot e^{0,05\cdot3}≈1000\cdot e^{0,15}≈1000\cdot1,1618≈1161,83\).

Exemplo 3 — Proporção áurea

Solução

Se \(a/b=φ\) e \(a=13\), então \(b=a/φ≈13/1,618≈8,04\).

Exercícios Propostos

Calcule a área de um círculo de raio \(r=5\) cm usando π.
Resolva \(e^{2x}=7\) para \(x\).
Determine o valor aproximado de φ com 4 casas decimais.
Mostre que \(φ^2=φ+1\).
Encontre a razão entre dois números consecutivos de Fibonacci e compare com φ.

Gabarito

1) \(A=πr^2≈3,1416\cdot25≈78,54\) cm².
2) \(\ln(7)=2x\) ⇒ \(x≈\dfrac{\ln(7)}{2}≈0,973\).
3) \(φ≈1,6180\).
4) Substituindo: \(φ^2=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{1+2\sqrt5+5}{4}=\frac{6+2\sqrt5}{4}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=φ+1\).
5) Para \(F_8=21\), \(F_9=34\), razão ≈ \(34/21≈1,619\) ≈ φ.