Números Primos — Definição, Propriedades, Crivo e Exercícios

Atualizado em 22 de agosto de 2025 • Leitura: ~15 min • Conteúdo com teoria, exemplos e exercícios

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O que são Números Primos?

Um número primo é um inteiro maior que 1 que possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Exemplos: \(2,3,5,7,11,13,\dots\)

Os demais inteiros \(>1\) são compostos (possuem mais de dois divisores). O número 1 é neutro para a multiplicação, mas não é primo.

Contexto nos conjuntos: veja os guias sobre Naturais, Inteiros, Conjuntos Numéricos e a estrutura maior dos Reais.

Propriedades e fatos importantes

2 é o único primo par; todos os demais primos são ímpares.
Existem infinitos números primos (prova clássica de Euclides).
Entre dois inteiros consecutivos grandes, pode haver lacunas longas sem primos, mas eles nunca “acabam”.
Primos são os “átomos” da aritmética: todo inteiro \(n\ge 2\) se decompõe de forma única (salvo ordem) em produto de primos.

Crivo de Eratóstenes (passo a passo)

Método simples para listar todos os primos até \(N\):

Escreva os números de 2 a \(N\).
Comece por 2: marque seus múltiplos (exceto o 2).
Passe para o próximo número não marcado (3) e marque seus múltiplos.
Repita até alcançar \(\lfloor\sqrt{N}\rfloor\). Os não marcados restantes são primos.

Até 30 ⇒ primos: \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\).

Teorema Fundamental da Aritmética

Todo inteiro \(n\ge 2\) pode ser escrito como produto de números primos de forma única (salvo a ordem dos fatores):

\[ 360 = 2^3\cdot 3^2\cdot 5 \]

Essa unicidade permite comparar, somar e dividir números utilizando expoentes dos mesmos primos.

Fatoração em primos e número de divisores

Para fatorar um número \(n\), divida sucessivamente por primos (2,3,5,7,11,…). Se \(n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\), então o número de divisores positivos de \(n\) é:

\[ \tau(n) = (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1). \]

Ex.: \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\Rightarrow \tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=24\).

Testes práticos de primalidade

Para verificar se \(n\) é primo, basta testar divisores \(\le \sqrt{n}\).
Elimine pares (se \(n>2\) e \(n\) é par ⇒ composto).
Teste divisibilidade por 3 (soma dos algarismos múltipla de 3), por 5 (termina em 0 ou 5), por 7, 11, 13, … até \(\sqrt{n}\).
Para números muito grandes, usam-se testes probabilísticos (Miller–Rabin) — fora do escopo escolar básico.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Primalidade de 221

Enunciado: \(221\) é primo?

Solução passo a passo

\(\sqrt{221}\approx 14{,}86\). Testar primos até 13.
Não é par; soma dos algarismos \(=2+2+1=5\) (não múltipla de 3).
Teste 5: termina em 1 ⇒ não.
Teste 7: \(221\div 7\) não é inteiro.
Teste 11: \(221\div 11=20{,}09…\) ⇒ não.
Teste 13: \(221=13\cdot 17\).

Conclusão: 221 é composto.

Exemplo 2 — Fatoração única

Enunciado: Fatore \(1260\).

Solução passo a passo

\(1260=126\cdot 10=(2\cdot 3^2\cdot 7)\cdot (2\cdot 5)=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7.\)

Exemplo 3 — Número de divisores

Enunciado: Quantos divisores positivos tem \(840\)?

Solução passo a passo

Fatorar: \(840=84\cdot 10=(2^2\cdot 3 \cdot 7)\cdot (2\cdot 5)=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\).
\(\tau(840)=(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\).

Exercícios Propostos

(Primalidade) Determine se \(257\) é primo.
(Fatoração) Fatore \(924\) em primos.
(Divisores) Calcule \(\tau(360)\).
(Sequência) Liste os primos entre 50 e 80.
(Mersenne) \(2^{11}-1\) é primo?
(Propriedade) Explique por que a soma de dois primos ímpares é sempre par.
(Próximo primo) Qual o próximo primo após \(97\)?
(Aplicação) Um número \(n\) tem fatoração \(n=2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Quantos divisores pares \(n\) possui?

Gabarito (clique para ver)

1) Primo (257 não tem divisores até \(\sqrt{257}\approx 16\)).
2) \(924=2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\).
3) \(\tau(360)=24\) (pois \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\)).
4) \(53, 59, 61, 67, 71, 73, 79\).
5) \(2^{11}-1=2047=23\cdot 89\) ⇒ composto.
6) Ímpares \(+\) ímpares ⇒ soma de dois números da forma \(2k+1\) é \(2(k+\ell+1)\), que é par.
7) \(101\).
8) Divisores pares exigem ao menos \(2^1\): escolhas para 2 → \(\{1,2,3\}\) (exponentes 1–3), para 3 → \(\{0,1\}\), para 5 → \(\{0,1,2\}\). Total \(3\cdot 2\cdot 3=18\).