Números Triangulares — Definição, Fórmulas, Propriedades e Exercícios

Atualizado em 23 de agosto de 2025 • Leitura: ~15 min • Conteúdo com teoria, exemplos e exercícios

📌 Mapas Mentais 📘 10 eBooks 🧮 Banco de Questões 🎯 ENEM Matemática 📣 Canais Oficiais

O que são números triangulares?

Números triangulares contam pontos que formam um triângulo equilátero preenchido. O n-ésimo número triangular é denotado por \(T_n\).

\[ T_n=\frac{n(n+1)}{2},\quad n\in\mathbb{N}. \]

Sequência inicial: \(1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,\ldots\)

Construção por camadas e primeiros termos

Monte linhas de 1, 2, 3, … pontos. A soma até \(n\) gera um triângulo com \(T_n\) pontos.

\(T_1=1\)

\(T_2=1+2=3\)

\(T_3=1+2+3=6\)

\(T_4=10\), \(T_5=15\), \(T_{10}=55\)…

Dica: \(T_n\) também é a soma dos \(n\) primeiros naturais: \(1+2+\cdots+n\).

Fórmulas fundamentais

Fechada: \(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

Recorrência: \(T_1=1\) e \(T_n=T_{n-1}+n\) para \(n\ge2\).

Binomial: \(T_n=\binom{n+1}{2}\).

Geradora: \(\displaystyle \sum_{n\ge1}T_n x^n=\frac{x}{(1-x)^3}\) (|x|<1).

Propriedades e identidades úteis

\(\displaystyle T_n+T_{n-1}=n^2\) (um quadrado perfeito).

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}T_k=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\) (números tetraédricos).

\(\displaystyle T_{2n}=n(2n+1)\) e \(T_{2n-1}=n(2n-1)\).

Diferenças consecutivas: \(T_{n}-T_{n-1}=n\).

Testes de triangularidade

Teste prático (raiz inteira)

Um \(x\in\mathbb{N}\) é triangular se e somente se \(8x+1\) é um quadrado perfeito.

\[ x\ \text{triangular} \Longleftrightarrow \exists m\in\mathbb{N}\ \text{tal que}\ 8x+1=m^2. \]

Obtendo \(n\) a partir de \(x\)

\[ x=T_n\ \Longleftrightarrow\ n=\frac{-1+\sqrt{1+8x}}{2}. \]

Dica: Se \(\sqrt{1+8x}\) não for inteiro, \(x\) não é triangular.

Interpretações combinatórias e geométricas

Mãos dadas: número de apertos de mão em um grupo de \(n+1\) pessoas é \(T_n=\binom{n+1}{2}\).
Pontos no triângulo: arranjos de pontos em malha triangular.
Soma de 1 a n: emparelhamento de Gauss mostra \(T_n\).

Relações com outros números figurados

Quadrados: \(T_n+T_{n-1}=n^2\).

Tetraédricos: soma dos \(T_k\) até \(n\) gera o número tetraédrico \( \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\).

Poligonais: os triangulares são o caso \(s=3\) dos números poligonais.

Conexões úteis: revise Naturais, Inteiros e Reais para contexto.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Calcular \(T_{50}\)

Solução

\(T_{50}=\dfrac{50\cdot 51}{2}=25\cdot 51=1275\).

Exemplo 2 — É 300 triangular?

Solução

Teste: \(8\cdot 300+1=2401=49^2\) ⇒ sim. \(n=\dfrac{-1+49}{2}=24\). Logo, \(300=T_{24}\).

Exemplo 3 — Aperto de mãos

Solução

Com 30 pessoas, apertos distintos: \(\binom{30}{2}=435=T_{29}\).

Exemplo 4 — Identidade com quadrados

Solução

Mostre que \(T_n+T_{n-1}=n^2\):
\(T_n+T_{n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{n(2n)}{2}=n^2\).

Exercícios Propostos

Calcule \(T_{10}\) e \(T_{20}\).

Verifique se \(55\) é triangular.

Encontre \(n\) tal que \(T_n=210\).

Mostre que \(T_{n}-T_{n-2}=2n-1\) para \(n\ge2\).

Em um torneio todos jogam contra todos, uma vez. Com 16 times, quantas partidas haverá?

Determine se \(91\) é triangular e, se for, ache \(n\).

Prove que \(\sum_{k=1}^{n}k = T_n\) por indução.

Entre \(T_{50}\) e \(T_{51}\), quantos números inteiros existem?

Mostre que \(T_{2n}-2T_{n}=\dfrac{n(n-1)}{2}\).

Resolva em \(n\in\mathbb{N}\): \(T_n= \dfrac{n^2+n}{2} = 406\).

Gabarito (clique para ver)

1) \(T_{10}=55\) e \(T_{20}=210\).

2) \(8\cdot55+1=441=21^2\) ⇒ sim, \(55=T_{10}\).

3) Resolver \(n(n+1)=420\) ⇒ \(\Delta=1+1680=1681=41^2\) ⇒ \(n=\frac{-1+41}{2}=20\).

4) \(T_n-T_{n-2}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n-2)(n-1)}{2}=2n-1\).

5) \(\binom{16}{2}=120\) partidas (= \(T_{15}\)).

6) \(8\cdot91+1=729=27^2\) ⇒ \(n=\frac{-1+27}{2}=13\) ⇒ \(91=T_{13}\).

7) Base \(n=1\): \(1=T_1\). Passo: suponha \(\sum_{k=1}^{n}k=T_n\); então \(\sum_{k=1}^{n+1}k=T_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=T_{n+1}\).

8) \(T_{51}-T_{50}=51\) ⇒ há \(50\) inteiros estritamente entre eles.

9) \(T_{2n}-2T_n=\frac{2n(2n+1)}{2}-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}=n(2n+1)-n(n+1)=\frac{n(n-1)}{2}\).

10) \(n(n+1)=812\) ⇒ \(\Delta=1+3248=3249\) (não é quadrado perfeito) ⇒ sem solução inteira (logo, 406 não é triangular).