Números Triangulares — Definição, Fórmulas, Propriedades e Exercícios
O que são números triangulares?
Números triangulares contam pontos que formam um triângulo equilátero preenchido. O n-ésimo número triangular é denotado por \(T_n\).
Sequência inicial: \(1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,\ldots\)
Construção por camadas e primeiros termos
Monte linhas de 1, 2, 3, … pontos. A soma até \(n\) gera um triângulo com \(T_n\) pontos.
- \(T_1=1\)
- \(T_2=1+2=3\)
- \(T_3=1+2+3=6\)
- \(T_4=10\), \(T_5=15\), \(T_{10}=55\)…
Dica: \(T_n\) também é a soma dos \(n\) primeiros naturais: \(1+2+\cdots+n\).
Fórmulas fundamentais
- Fechada: \(T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).
- Recorrência: \(T_1=1\) e \(T_n=T_{n-1}+n\) para \(n\ge2\).
- Binomial: \(T_n=\binom{n+1}{2}\).
- Geradora: \(\displaystyle \sum_{n\ge1}T_n x^n=\frac{x}{(1-x)^3}\) (|x|<1).
Propriedades e identidades úteis
- \(\displaystyle T_n+T_{n-1}=n^2\) (um quadrado perfeito).
- \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}T_k=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\) (números tetraédricos).
- \(\displaystyle T_{2n}=n(2n+1)\) e \(T_{2n-1}=n(2n-1)\).
- Diferenças consecutivas: \(T_{n}-T_{n-1}=n\).
Testes de triangularidade
Teste prático (raiz inteira)
Um \(x\in\mathbb{N}\) é triangular se e somente se \(8x+1\) é um quadrado perfeito.
Obtendo \(n\) a partir de \(x\)
Dica: Se \(\sqrt{1+8x}\) não for inteiro, \(x\) não é triangular.
Interpretações combinatórias e geométricas
- Mãos dadas: número de apertos de mão em um grupo de \(n+1\) pessoas é \(T_n=\binom{n+1}{2}\).
- Pontos no triângulo: arranjos de pontos em malha triangular.
- Soma de 1 a n: emparelhamento de Gauss mostra \(T_n\).
Relações com outros números figurados
- Quadrados: \(T_n+T_{n-1}=n^2\).
- Tetraédricos: soma dos \(T_k\) até \(n\) gera o número tetraédrico \( \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
- Poligonais: os triangulares são o caso \(s=3\) dos números poligonais.
Conexões úteis: revise Naturais, Inteiros e Reais para contexto.
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Calcular \(T_{50}\)
Solução
\(T_{50}=\dfrac{50\cdot 51}{2}=25\cdot 51=1275\).
Exemplo 2 — É 300 triangular?
Solução
Teste: \(8\cdot 300+1=2401=49^2\) ⇒ sim. \(n=\dfrac{-1+49}{2}=24\). Logo, \(300=T_{24}\).
Exemplo 3 — Aperto de mãos
Solução
Com 30 pessoas, apertos distintos: \(\binom{30}{2}=435=T_{29}\).
Exemplo 4 — Identidade com quadrados
Solução
Mostre que \(T_n+T_{n-1}=n^2\):
\(T_n+T_{n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n-1)n}{2}=\dfrac{n(2n)}{2}=n^2\).
Exercícios Propostos
- Calcule \(T_{10}\) e \(T_{20}\).
- Verifique se \(55\) é triangular.
- Encontre \(n\) tal que \(T_n=210\).
- Mostre que \(T_{n}-T_{n-2}=2n-1\) para \(n\ge2\).
- Em um torneio todos jogam contra todos, uma vez. Com 16 times, quantas partidas haverá?
- Determine se \(91\) é triangular e, se for, ache \(n\).
- Prove que \(\sum_{k=1}^{n}k = T_n\) por indução.
- Entre \(T_{50}\) e \(T_{51}\), quantos números inteiros existem?
- Mostre que \(T_{2n}-2T_{n}=\dfrac{n(n-1)}{2}\).
- Resolva em \(n\in\mathbb{N}\): \(T_n= \dfrac{n^2+n}{2} = 406\).
Gabarito (clique para ver)
1) \(T_{10}=55\) e \(T_{20}=210\).
3) Resolver \(n(n+1)=420\) ⇒ \(\Delta=1+1680=1681=41^2\) ⇒ \(n=\frac{-1+41}{2}=20\).
4) \(T_n-T_{n-2}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n-2)(n-1)}{2}=2n-1\).
5) \(\binom{16}{2}=120\) partidas (= \(T_{15}\)).
6) \(8\cdot91+1=729=27^2\) ⇒ \(n=\frac{-1+27}{2}=13\) ⇒ \(91=T_{13}\).
7) Base \(n=1\): \(1=T_1\). Passo: suponha \(\sum_{k=1}^{n}k=T_n\); então \(\sum_{k=1}^{n+1}k=T_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=T_{n+1}\).
8) \(T_{51}-T_{50}=51\) ⇒ há \(50\) inteiros estritamente entre eles.
9) \(T_{2n}-2T_n=\frac{2n(2n+1)}{2}-2\cdot\frac{n(n+1)}{2}=n(2n+1)-n(n+1)=\frac{n(n-1)}{2}\).
10) \(n(n+1)=812\) ⇒ \(\Delta=1+3248=3249\) (não é quadrado perfeito) ⇒ sem solução inteira (logo, 406 não é triangular).
Leituras Relacionadas
- Conjuntos Numéricos
- Números Naturais
- Números Inteiros
- Números Racionais
- Números Irracionais
- Números Reais
- Números Romanos
Dica: use Ctrl + F para localizar rapidamente termos nesta página.
Resumo e Materiais
- ✔ Definição e construção por camadas
- ✔ Fórmulas (fechada, recorrência, geradora)
- ✔ Propriedades, identidades e testes
- ✔ Interpretações combinatórias e geométricas
- ✔ Exemplos resolvidos e exercícios
