OBMEP 2024 – Nível 1 – Colorir sem repetir: quantas cores Felipe vai precisar?

Colorir sem repetir: quantas cores Felipe vai precisar?

Questão 7 – OBMEP 2024

Felipe vai colorir a figura de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. Qual é o menor número de cores que ele deve usar?

Regiões circulares para colorir

Alternativas:

  • (A) 4
  • (B) 2
  • (C) 3
  • (D) 6
  • (E) 5
Ver Solução

Entendendo o enunciado:
A figura é formada por três camadas: uma região central, uma camada intermediária com 4 regiões, e uma camada externa também com 4 regiões. O objetivo é pintar essas regiões de forma que nenhuma região vizinha compartilhe a mesma cor.

Análise:
Podemos decompor a figura:

  • 1 cor para a região central.
  • Na camada intermediária, precisamos de 2 cores diferentes da central para pintar regiões opostas sem repetir.
  • Na camada externa, também usamos 2 cores diferentes da intermediária, mas uma delas pode coincidir com a da região central.

Somando:
\( 1 \text{ (central)} + 2 \text{ (intermediária)} + 1 \text{ (externa)} = 4 \) cores no total.

Prova por impossibilidade:
Suponha que fosse possível usar apenas 3 cores (A, B e C). Como algumas regiões têm até 5 vizinhos, será impossível pintar sem repetir cores em pelo menos uma região, como mostrado nos diagramas do gabarito oficial.

Conclusão:
O menor número de cores que Felipe pode usar para pintar a figura corretamente é 4 cores.

Gabarito: Letra A

🧠 Mapas Mentais de Matemática

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