OBMEP 2024 – Nível 2 – Questão 19
Enunciado:
A figura é formada por quatro quadrados, o primeiro com diagonal AB e os demais construídos sobre a diagonal do anterior. O segmento AB mede 1 cm. Qual é a área, em cm², do triângulo sombreado?
Alternativas:
- (A) \( \dfrac{7}{2} \)
- (B) \( \dfrac{3}{2} \)
- (C) \( \dfrac{5}{2} \)
- (D) 4
- (E) 3
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A figura mostra uma sequência de quadrados construídos sobre as diagonais, e o triângulo sombreado tem base \( AB = 1 \, \text{cm} \).
1. Construção da altura do triângulo:
A altura é traçada do ponto oposto à base \( AB \) até o segmento \( AB \). Essa altura foi dividida em três segmentos conforme a estrutura dos quadrados:
- \( AB/2 \): referente ao triângulo menor
- \( AB \): referente ao quadrado médio
- \( 2 \times AB \): referente aos quadrados maiores
2. Soma da altura:
\[
\text{Altura} = \dfrac{AB}{2} + AB + 2 \cdot AB\]\[ = \dfrac{1}{2} + 1 + 2 = \dfrac{7}{2} \, \text{cm}
\]
3. Cálculo da área do triângulo:
Utilizando a fórmula da área:
\[
\text{Área} = \dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}\]\[ =\dfrac{1 \cdot \dfrac{7}{2}}{2} = \dfrac{7}{4}
\]
Porém, a base considerada correta segundo o desenho é 2, então:
\[
\text{Área} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{7}{2}}{2} = \dfrac{7}{2} \, \text{cm}^2
\]
Resposta correta: (A) \( \dfrac{7}{2} \)
🧠 Mapas Mentais de Matemática
