OBMEP 2024 – Nível 2 – Questão 20
Enunciado:
Uma competição de matemática consiste de uma prova com três problemas. Cada aluno pode obter nota 0, 1 ou 2 em cada problema. Após a correção das provas, constatou-se que não existiam dois alunos com notas iguais nos mesmos dois problemas. Qual é o número máximo de alunos que podem ter participado da competição?
Alternativas:
- (A) 8
- (B) 12
- (C) 6
- (D) 16
- (E) 9
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Entendendo o enunciado:
Os alunos fazem uma prova com três problemas. Cada problema pode ter nota 0, 1 ou 2. Isso gera \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) combinações possíveis. No entanto, a condição imposta impede que dois alunos tenham as mesmas notas em dois problemas quaisquer.
1. Estratégia:
Vamos considerar apenas os dois primeiros problemas. Se representarmos as notas nesses dois problemas como pares ordenados, temos:
\( 3 \times 3 = 9 \) combinações possíveis (por exemplo, (0,0), (0,1), …, (2,2)).
Se colocarmos mais de 9 alunos, dois deles terão o mesmo par de notas nos dois primeiros problemas, o que viola a condição.
2. Exemplo com 9 alunos distintos:
Veja abaixo uma tabela com 9 alunos com pares distintos de notas nos dois primeiros problemas. As notas do terceiro problema foram escolhidas de forma que não repitam pares:
| Aluno | P1 | P2 | P3 |
|---|---|---|---|
| Aluno 1 | 0 | 0 | 0 |
| Aluno 2 | 0 | 1 | 1 |
| Aluno 3 | 0 | 2 | 2 |
| Aluno 4 | 1 | 0 | 0 |
| Aluno 5 | 1 | 1 | 2 |
| Aluno 6 | 1 | 2 | 1 |
| Aluno 7 | 2 | 0 | 2 |
| Aluno 8 | 2 | 1 | 0 |
| Aluno 9 | 2 | 2 | 1 |
3. Conclusão:
O número máximo de alunos que podem participar da competição, obedecendo à restrição dada, é 9.
Alternativa correta: (E) 9
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