OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 14
Enunciado:
Em um conjunto de números inteiros positivos, a média aritmética dos dois maiores é 50, dos três maiores é 48, dos quatro maiores é 46 e assim por diante, diminuindo de 2 em 2. Qual é o menor número que pode pertencer a esse conjunto?
(A) 2
(B) 1
(C) 5
(D) 4
(E) 3
Ver Solução
Entendendo o enunciado: As médias dos maiores elementos seguem uma progressão decrescente, diminuindo 2 unidades por elemento adicional. Nosso objetivo é encontrar o menor número que pode pertencer ao conjunto.
Vamos resolver passo a passo:
– A média dos 2 maiores é 50 → soma = \(2 \times 50 = 100\)
– A média dos 3 maiores é 48 → soma = \(3 \times 48 = 144\)
– O terceiro maior número é: \(144 – 100 = 44\)
– A média dos 4 maiores é 46 → soma = \(4 \times 46 = 184\)
– O quarto maior número é: \(184 – 144 = 40\)
Percebe-se um padrão: os números estão diminuindo de 4 em 4.
Seguindo esse padrão: 50, 48, 44, 40, 36, …, até o menor número ainda positivo.
A sequência será: \(50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22, 18, 14, 10, 6, 2\), totalizando 13 termos.
O próximo valor seria \(2 – 4 = -2\), que não é positivo.
Portanto, o menor número possível no conjunto é: 4
Resposta correta: (D) 4
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