OBMEP 2024 – Nível 3 – Soma nas Linhas e Colunas

OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 4: Soma nas Linhas e Colunas

OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 4

Enunciado:

No quadriculado, a soma dos elementos de cada linha e de cada coluna são iguais. Qual é o valor de \( a + b – c \)?

Quadriculado com variáveis a, b, c, d, e e números fixos

Alternativas:

  • (A) 6
  • (B) 7
  • (C) 8
  • (D) 9
  • (E) 10
Ver Solução

1. Definindo a soma total comum:
Seja \( S \) a soma comum das linhas e colunas.

  • 1ª linha: \( a + 11 = S \)
  • 2ª linha: \( b + c + 7 = S \)
  • 3ª coluna: \( c + 14 = S \)

Somando as duas primeiras e subtraindo a terceira:

\[ S + S – 2(c + 14) = \]\[ a + 11 + b + c + 7 – 2(c + 14) \]\[ = a + b – c + 18 – 28 = \]\[a + b – c – 10 \]

Como também temos que essa soma é igual a 0 (soma e subtração da mesma quantidade), temos:

\[ a + b – c – 10 = 0 \]\[\Rightarrow a + b – c = \boxed{10} \]

Verificação alternativa:

  • Comparando 2ª linha com 3ª coluna:

    \( 7 + b + c = 8 + c + 6 \Rightarrow b = 7 \)
  • Comparando 1ª linha com 3ª coluna:

    \( 3 + a + 8 = 8 + c + 6 \Rightarrow c = a – 3 \)
  • Substituindo: \( a + b – c = a + 7 – (a – 3) = \boxed{10} \)

Resposta correta: (E) 10

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