Enunciado:
Quantos são os triângulos que podem ser formados com vértices escolhidos entre os vértices de um cubo, de modo que nenhum deles esteja contido em uma das faces do cubo?
Alternativas:
- (A) 32
- (B) 30
- (C) 34
- (D) 27
- (E) 37
Ver Solução
1. Total de triângulos possíveis:
O cubo tem 8 vértices. Podemos escolher 3 para formar um triângulo de:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \]
2. Triângulos contidos em uma das faces:
Cada face quadrada do cubo (são 6) possui 4 vértices. A partir desses, podemos formar:
\[ \binom{4}{3} = 4 \text{ triângulos por face} \]\[ \Rightarrow 6 \cdot 4 = 24 \text{ triângulos contidos nas faces} \]
3. Triângulos fora das faces:
\[ 56 \text{ (total)} – 24 \text{ (nas faces)} = \boxed{32} \]
✅ Gabarito: Letra A
Observação: A resolução completa também mostra que há 24 triângulos com uma aresta e um vértice fora da face (Figura 1), e 8 triângulos com lados em diagonais das faces (Figura 2A e 2B), somando exatamente os 32.
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