Permutação Exercícios com solução

1 – Análise Combinatória – Permutação Simples com Restrição

Neste problema, queremos determinar o número de números de cinco algarismos que podem ser formados sem repetição, sob as condições:

1. Os algarismos 0, 2, 4 devem aparecer agrupados.
2. O número deve ter 5 algarismos, e o primeiro algarismo não pode ser 0.

2 – Entendendo o enunciado

1. Tratamos o grupo 0, 2, 4 como um único bloco denotado por 🟣.
2. Os números possíveis são compostos por 🟣 e dois outros dígitos escolhidos entre os restantes (1, 3, 5, 6, 7, 8, 9).
3. Temos três configurações possíveis para a posição do bloco 🟣:
   • _ 🟣 _
   • _ _ 🟣
   • 🟣 _ _.
4. Dentro do bloco 🟣 (0, 2, 4), os algarismos podem ser permutados entre si, mas no caso 🟣 _ _, as permutações que começam com 00 devem ser descartadas.

3 – Cálculo

Caso 1: _ 🟣 _

• Os dois algarismos restantes (x₁, x₂) são escolhidos entre os 7 dígitos restantes (1, 3, 5, 6, 7, 8, 9):

A(7, 2) = 7⋅6 = 42

• Dentro do bloco 🟣 (0, 2, 4), as permutações possíveis são:

P(3) = 3! = 6

• Total de possibilidades para este caso:

42⋅6 = 252

Caso 2: _ _ 🟣
Este caso é idêntico ao primeiro, pois a posição do bloco 🟣 muda, mas as permutações seguem a mesma lógica: 42⋅6 = 252

Caso 3: 🟣 _ _

• Os dois algarismos restantes (x₁, x₂) são escolhidos entre os 7 dígitos restantes:

A(7, 2) = 42

• Dentro do bloco 🟣 (0, 2, 4), descartamos as permutações que começam com 00. Das 6 permutações possíveis, 2 são inválidas (0, 2, 4 e 0, 4, 2):

P(3) − 2 = 4

• Total de possibilidades para este caso:

42⋅4 = 168

Total Geral:
Somamos os resultados de todos os casos:

252 + 252 + 168 = 672

4 – Resposta

O número total de números de cinco algarismos que podem ser formados, de modo que 0, 2, 4 apareçam agrupados e o primeiro dígito seja diferente de zero, é 672.

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