Pirâmides

Pirâmides: definição, fórmulas, planificação, exemplos e exercícios

Pirâmides (Geometria Espacial)

Definição, elementos, fórmulas de área e volume, planificação, exemplos resolvidos (contas na vertical) e exercícios.

Pirâmides: base poligonal, faces laterais triangulares convergindo num vértice.

1) O que é uma pirâmide?

É um poliedro formado por um polígono de base e por faces laterais triangulares que se encontram em um único vértice. A altura $h$ é a distância perpendicular do vértice ao plano da base.

Quando a base é um polígono regular e o vértice está sobre o centro da base, temos uma pirâmide regular (faces laterais congruentes).

Compare com os prismas regulares e relembre a Fórmula de Euler.

2) Tipos comuns

Pirâmide triangular (base triângulo) — 4 faces. Relacione com prisma triangular.
Pirâmide quadrangular (base quadrada) — 5 faces.
Pirâmide pentagonal, hexagonal, … (base com 5, 6, … lados).
Regular (reta) × oblíqua (vértice deslocado).

3) Elementos e notação (regular)

$n$: número de lados da base; $a$: lado; $p=n\cdot a$ (perímetro); $A_b$: área da base.
$h$: altura (vértice → plano da base).
$g$: apótema lateral (altura de cada face triangular).

4) Fórmulas essenciais

Área lateral (qualquer): $A_L=\dfrac{p\cdot g}{2}$

Área total (qualquer): $A_T=A_L+A_b$

Volume (qualquer): $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$

Bases regulares mais usadas

Base quadrada ($a$): $p=4a$, $A_b=a^2$

Base triangular equilátera ($a$): $p=3a$, $A_b=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$

Base pentagonal regular ($a,r$): $p=5a$, $A_b=\dfrac{5ar}{2}$ (com apótema da base $r$)

Base hexagonal regular ($a$): $p=6a$, $A_b=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$

Precisa revisar áreas de polígonos? Veja área de triângulo e triângulos semelhantes.

5) Planificação

É composta por 1 base (o polígono) e n triângulos (faces laterais) de base igual aos lados do polígono e altura $g$. Para técnicas de recorte, compare com planificação do prisma hexagonal e do prisma pentagonal.

6) Estratégia de resolução

Identifique a base (regular ou não) e levante $a,p,A_b,h,g$.
Escolha: $A_L$, $A_T$ ou $V$.
Se faltar $h$ ou $g$, use triângulos retângulos (Pitágoras).
Conferir unidades; lembrar $1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$.

7) Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Volume de base quadrada

Situação-problema. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado $a=10\,\text{cm}$ e altura $h=18\,\text{cm}$. Calcule o volume.

Ver solução

$$\begin{aligned} A_b &= a^2\\ &= 10^2\\ &= 100\ \text{cm}^2\\[6pt] V &= \frac{A_b\cdot h}{3}\\ &= \frac{100\cdot 18}{3}\\ &= \frac{1800}{3}\\ &= \boxed{600\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

Exemplo 2 — Área total de base triangular

Situação-problema. Uma pirâmide regular tem base equilátera de lado $a=12\,\text{cm}$ e apótema lateral $g=15\,\text{cm}$. Calcule a área total.

Ver solução

$$\begin{aligned} p &= 3a\\ &= 3\cdot 12\\ &= 36\ \text{cm}\\[6pt] A_L &= \frac{p\cdot g}{2}\\ &= \frac{36\cdot 15}{2}\\ &= 270\ \text{cm}^2\\[6pt] A_b &= \frac{\sqrt3}{4}a^2\\ &= \frac{\sqrt3}{4}\cdot 12^2\\ &= 36\sqrt3\ \text{cm}^2\\[6pt] A_T &= A_L + A_b\\ &= 270 + 36\sqrt3\\ &\approx 270 + 62{,}35\\ &\approx \boxed{332{,}35\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

Exemplo 3 — Encontrando a altura a partir de $g$

Situação-problema. Numa pirâmide regular de base quadrada, o lado é $a=8\,\text{cm}$ e o apótema lateral é $g=13\,\text{cm}$. Calcule a altura $h$.

Ver solução

$$\begin{aligned} h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 &= g^2\\ h^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 &= 13^2\\ h^2 + 16 &= 169\\ h^2 &= 153\\ h &= \boxed{\sqrt{153}\ \text{cm} \approx 12{,}37\ \text{cm}} \end{aligned}$$

8) Exercícios propostos

Pirâmide quadrangular: $a=6\text{ cm}$, $h=10\text{ cm}$. Calcule o volume.
Pirâmide triangular regular: $a=9\text{ cm}$, $g=12\text{ cm}$. Calcule $A_L$ e $A_T$.
Pirâmide pentagonal regular: $a=5\text{ cm}$, apótema da base $r=3{,}4\text{ cm}$, $h=14\text{ cm}$. Calcule o volume.
Pirâmide quadrada: $a=10\text{ cm}$ e $A_L=260\text{ cm}^2$. Encontre $g$.
Projeto: pirâmide quadrada com $a=7\text{ cm}$, $g=11\text{ cm}$. Calcule a área da planificação (sem abas).
Pirâmide hexagonal regular: $a=4\text{ cm}$, $g=10\text{ cm}$, $h=9\text{ cm}$. Calcule $A_T$ e $V$.
Uma pirâmide quadrada tem $V=480\text{ cm}^3$ e $h=15\text{ cm}$. Encontre $a$.
Pirâmide triangular regular: $a=10\text{ cm}$, $h=20\text{ cm}$. Dê o volume em litros.
Custo: pirâmide quadrada $a=9\text{ cm}$, $g=13\text{ cm}$. Pintar apenas faces laterais a R$ 75,00/m². Qual o custo?
Mostre que, com mesma base e altura, $V_{\text{prisma}}=3\cdot V_{\text{pirâmide}}$.

9) Continue estudando

Poliedros Sólidos de Platão Fórmula de Euler Prismas regulares (guia) Prisma pentagonal Prisma hexagonal Planificação do prisma hexagonal Área de Triângulo

10) Materiais do blog

🧠 Mapas Mentais de Matemática 🎯 ENEM Matemática 📚 Coleção 10 eBooks 🗃️ Banco de Questões de Matemática 📺 Canais Oficiais de Matemática

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.