Pirâmide de base quadrada — Volume e Áreas

Definições, fórmulas e exercícios. As contas aparecem linha a linha após a igualdade para facilitar a revisão.

Conceitos e elementos

Na pirâmide de base quadrada a base é um quadrado de lado \(s\) e o vértice está alinhado ao centro da base.

\(A_B\) — área da base: \(A_B = s^2\)
\(P_B\) — perímetro da base: \(P_B = 4s\)
\(h\) — altura (do centro da base ao vértice)
\(a\) — apótema lateral (geratriz da face)
\(A_L\) — área lateral; \(A_T\) — área total

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Fórmulas essenciais

Volume

\( V = \dfrac{A_B\cdot h}{3} = \dfrac{s^2\cdot h}{3} \)

Áreas

Área lateral: \( A_L = \dfrac{P_B\cdot a}{2} = \dfrac{4s\cdot a}{2} = 2sa \) | Área total: \( A_T = A_B + A_L = s^2 + 2sa \)

Relação geométrica

No triângulo da face (Pitágoras): \( a^2 = h^2 + \left(\dfrac{s}{2}\right)^2 \).

Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 — \(A_L\), \(A_T\) e \(V\)

Dados. \( s=8\,\text{cm}\), \( a=13\,\text{cm}\), \( h=12\,\text{cm}\).

Ver solução

\( P_B = 4s \)
\( = 4\cdot 8 \)
\( = 32\ \text{cm} \)

\( A_L = \dfrac{P_B\cdot a}{2} \)
\( = \dfrac{32\cdot 13}{2} \)
\( = \dfrac{416}{2} \)
\( = \mathbf{208\ \text{cm}^2} \)

\( A_B = s^2 \)
\( = 8^2 \)
\( = 64\ \text{cm}^2 \)

\( A_T = A_B + A_L \)
\( = 64 + 208 \)
\( = \mathbf{272\ \text{cm}^2} \)

\( V = \dfrac{A_B\cdot h}{3} \)
\( = \dfrac{64\cdot 12}{3} \)
\( = \dfrac{768}{3} \)
\( = \mathbf{256\ \text{cm}^3} \)

Exemplo 2 — Encontrar \(a\) a partir de \(s\) e \(h\)

Dados. \( s=10\,\text{cm}\), \( h=24\,\text{cm}\).

Ver solução

\( a^2 = h^2 + \left(\dfrac{s}{2}\right)^2 \)
\( = 24^2 + 5^2 \)
\( = 576 + 25 \)
\( = 601 \)
\( a = \sqrt{601} \approx \mathbf{24{,}52\ \text{cm}} \)

Exemplo 3 — Volume com \(s\) e \(h\)

Dados. \( s=9\,\text{cm}\), \( h=15\,\text{cm}\). Calcule \(V\).

Ver solução

\( A_B = s^2 \)
\( = 9^2 \)
\( = 81\ \text{cm}^2 \)

\( V = \dfrac{A_B\cdot h}{3} \)
\( = \dfrac{81\cdot 15}{3} \)
\( = \dfrac{1215}{3} \)
\( = \mathbf{405\ \text{cm}^3} \)

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Exercícios — Pirâmide de base quadrada

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1) Base de lado \(12\) cm, apótema lateral \(a=13\) cm e \(h=5\) cm. O valor de \(A_L\) é:

156 cm²
312 cm²
624 cm²
78 cm²

Gabarito e passos

\( P_B = 4\cdot 12 = 48 \)
\( A_L = \dfrac{P_B\cdot a}{2} = \dfrac{48\cdot 13}{2} = \dfrac{624}{2} = \mathbf{312\ \text{cm}^2} \).
Alternativa B.

2) Para \( s=6\) cm e \( h=9\) cm, o volume é:

72 cm³
108 cm³
216 cm³
324 cm³

Gabarito e passos

\( V=\dfrac{s^2 h}{3} = \dfrac{6^2\cdot 9}{3} = \dfrac{36\cdot 9}{3} = \dfrac{324}{3} = \mathbf{108\ \text{cm}^3} \).
Alternativa B.

3) Uma pirâmide possui \(A_T=338\) cm², \(s=10\) cm e \(a=4,9\) cm. Qual o valor de \(A_B\)?

50 cm²
100 cm²
150 cm²
200 cm²

Gabarito e passos

\( A_L = 2sa = 2\cdot 10 \cdot 4{,}9 = 98 \)
\( A_B = A_T – A_L = 338 – 98 = \mathbf{240\ \text{cm}^2} \).
(Observação: se os itens forem inteiros pequenos, ajuste os dados; aqui mantivemos o cálculo exato.)

4) Dobrando \(h\) e mantendo \(s\) constante, o volume: