Aqui você aprende o que é polinômio, como operar, fatorar e aplicar teoremas clássicos (Resto e D’Alembert), com exemplos diretos e exercícios resolvidos.
1) O que é um polinômio
Um polinômio em \(x\) é uma expressão formada por soma (ou diferença) de termos do tipo \(a\cdot x^n\), em que \(a\) é um número real (coeficiente) e \(n\) é um inteiro não negativo (\(n \ge 0\)).
- Coeficientes: \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\)
- Variável: \(x\)
- Termos: cada parcela \(a\cdot x^n\)
- Termo constante: \(a_0\)
- Grau do termo: o expoente \(n\)
- Grau do polinômio: o maior expoente com coeficiente não nulo
- Polinômio nulo: \(P(x)=0\) (grau não é definido)
Exemplos rápidos
- \(P(x)=3x^4-2x+7\) → grau 4.
- \(Q(x)=5x^2+x\) → grau 2 (polinômio incompleto, pois falta o termo constante).
- \(R(x)=9\) → grau 0 (polinômio constante).
Classificação por número de termos (muito usada em enunciados):
monômio (1 termo), binômio (2 termos),
trinômio (3 termos).
2) Valor numérico de um polinômio
Calcular o valor numérico é apenas substituir \(x\) por um número e fazer as contas. Parece simples, mas aqui mora um erro clássico: distribuir sinais e parênteses.
3) Operações com polinômios
3.1 Soma e subtração
Some (ou subtraia) apenas termos semelhantes (mesmo expoente).
3.2 Multiplicação
Aqui a regra é distributiva: cada termo do primeiro multiplica cada termo do segundo.
3.3 Divisão de polinômios (ideia prática)
Em provas, a divisão aparece muito em duas formas: divisão por binômio e Teorema do Resto. Quando o divisor é \((x-a)\), o caminho mais rápido costuma ser Briot-Ruffini (também chamado de “dispositivo”).
Ver um exemplo de divisão por \((x-2)\) (Briot-Ruffini)
Dividir \(P(x)=x^3-3x^2+4x-12\) por \((x-2)\).
1) Escreva os coeficientes: \(1, -3, 4, -12\).
2) Use \(a=2\) (porque o divisor é \(x-2\)).
3) Faça o “desce e multiplica”:
\[ \begin{array}{c|cccc} 2 & 1 & -3 & 4 & -12 \\ & & 2 & -2 & 4 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & -8 \end{array} \]O quociente é \(x^2 – x + 2\) e o resto é \(-8\).
4) Produtos notáveis (atalhos que viram fatoração)
Produtos notáveis são identidades que você usa para expandir rápido ou fatorar mais rápido. Em prova, eles aparecem “disfarçados”.
5) Fatoração de polinômios (parte que mais cai)
Se você domina fatoração, você resolve com mais segurança: simplificação de frações algébricas, equações polinomiais, estudo de sinal e vários “atalhos” de prova.
5.1 Fator comum em evidência
5.2 Agrupamento
5.3 Diferença de quadrados
5.4 Trinômio quadrado perfeito
- troca de sinal no agrupamento;
- tentar “forçar” trinômio quadrado perfeito sem conferir o termo do meio;
- esquecer que \(a^2-b^2\) é sempre \((a-b)(a+b)\).
6) Teorema do Resto e Teorema de D’Alembert
6.1 Teorema do Resto
Ao dividir \(P(x)\) por \((x-a)\), o resto é \(P(a)\). Isso é ouro em questões de rapidez.
6.2 Teorema de D’Alembert
Se \(P(a)=0\), então \((x-a)\) é um fator de \(P(x)\). Ou seja: encontrou uma raiz? Você já achou um fator.
7) Exercícios resolvidos (estilo prova)
Exercício 1 — Grau e classificação
Enunciado: Determine o grau de \(P(x)=4x^5-3x^2+7\) e classifique pelo número de termos.
1) O maior expoente é \(5\). Logo, o grau é 5.
2) Há 3 termos: \(4x^5\), \(-3x^2\), \(7\). Logo é um trinômio.
Resposta final: grau 5 e polinômio trinômio.
Exercício 2 — Fatoração por evidência e diferença de quadrados
Enunciado: Fatore \(P(x)=2x(x^2-16)\).
1) Identifique diferença de quadrados: \(x^2-16 = x^2-4^2\).
2) Aplique \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):
\[ P(x)=2x(x-4)(x+4) \]Resposta final: \(2x(x-4)(x+4)\).
Exercício 3 — Teorema do Resto
Enunciado: Encontre o resto da divisão de \(P(x)=3x^2-5x+2\) por \((x-1)\).
1) Pelo Teorema do Resto, o resto é \(P(1)\).
\[ P(1)=3\cdot 1^2 -5\cdot 1 +2 = 3-5+2=0 \]Resposta final: o resto é 0 (logo \((x-1)\) é fator).
8) Erros que mais derrubam em prova
- Confundir grau do termo com grau do polinômio (o grau do polinômio é o maior expoente com coeficiente não nulo).
- Somar termos não semelhantes (ex.: \(x\) com \(x^2\)).
- Esquecer parênteses quando substitui \(x\) por número negativo.
- Forçar fatoração sem checar se o termo do meio bate com \(2ab\) (no quadrado perfeito).
- Errar sinais em agrupamento e em \((a-b)^2\).
9) Resumo (para revisar em 60 segundos)
- Polinômio: soma de termos \(a\cdot x^n\), com \(n\ge 0\).
- Grau: maior expoente com coeficiente não nulo.
- Termos semelhantes: mesmo expoente.
- Fatoração decide metade das questões.
- Teorema do Resto: resto por \((x-a)\) é \(P(a)\).
- D’Alembert: se \(P(a)=0\), então \((x-a)\) é fator.
