Potenciação: como dominar expoentes com exemplos e exercícios?

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Definição de potência e leitura de expoentes

Potenciação escreve multiplicações repetidas da mesma base. Notação: $a^n$. Lemos “a elevado a n”.

Definição: para $a\in\mathbb{R}$ e $n\in\mathbb{N}$, $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}_{n\text{ fatores}}$.

Casos especiais: $a^1=a$, $a^0=1$ (com $a\neq0$) e $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

Exemplo prático: contagem de dobras de papel

Ao dobrar um papel, o número de camadas segue $2^n$. Em 1, 2 e 3 dobras, temos 2, 4 e 8 camadas, respectivamente.

Regras e propriedades dos expoentes (essenciais)

Produto: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Quociente: $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ($a\neq0$)
Potência de potência: $(a^m)^n=a^{mn}$
Potência de produto: $(ab)^n=a^n b^n$
Expoente zero: $a^0=1$ ($a\neq0$)
Expoente negativo: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

Erros comuns para evitar

Confundir $a^m+a^n$ com $a^{m+n}$. Somar potências ≠ multiplicá-las.
Esquecer que $a^0=1$ ($a\neq0$).
Aplicar “regra da soma” no expoente: em geral, $(a+b)^n\neq a^n+b^n$.

Potências de 10, notação científica e grandezas

Potências de 10 agilizam cálculos e padronizam medidas muito grandes ou muito pequenas.

Notação científica: $N=c\cdot 10^k$, com $1\le c<10$ e $k\in\mathbb{Z}$.

Exemplo aplicado

$0{,}00032=3{,}2\cdot 10^{-4}$ e $5\,800\,000=5{,}8\cdot 10^{6}$.

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Relação entre potenciação e radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Para $n\in\mathbb{N}$, $\sqrt[n]{a}=a^{\tfrac{1}{n}}$ (com hipóteses usuais sobre $a$).

Exemplo com passos em forma matemática

$$\begin{aligned} \sqrt[3]{125}&=125^{\tfrac{1}{3}}\\ &=(5^3)^{\tfrac{1}{3}}\\ &=5^{3\cdot\tfrac{1}{3}}\\ &=5 \end{aligned}$$

Veja também (revisões úteis no blog):

• Função Exponencial — • Logaritmos — • Progressão Geométrica (PG) — • Juros Compostos — • Sistema de Numeração Decimal — • Área do Trapézio — • Operações com Fração

Exemplos trabalhados com expoentes (passo a passo)

Exemplo 1 — simplificação com produto de potências

$$\begin{aligned} 2^3\cdot 2^5 &= 2^{3+5}\\ &= 2^8\\ &= 256 \end{aligned}$$

Exemplo 2 — quociente e expoente negativo

$$\begin{aligned} \dfrac{5^3}{5^7} &= 5^{3-7}\\ &= 5^{-4}\\ &= \dfrac{1}{5^4}\\ &= \dfrac{1}{625} \end{aligned}$$

Exemplo 3 — potência de potência

$$\begin{aligned} (3^2)^4 &= 3^{2\cdot 4}\\ &= 3^8\\ &= 6561 \end{aligned}$$

Exemplo 4 — potência de produto

$$\begin{aligned} (2\cdot 5)^3 &= 2^3\cdot 5^3\\ &= 8\cdot 125\\ &= 1000 \end{aligned}$$

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Lista de exercícios sobre potenciação (com soluções)

1) Simplificação direta com produto de potências

Enunciado: Simplifique $3^4\cdot 3^2$.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} 3^4\cdot 3^2 &= 3^{4+2}\\ &= 3^6\\ &= 729 \end{aligned}$$

2) Quociente de potências com mesma base

Enunciado: Calcule $\dfrac{7^9}{7^3}$.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} \dfrac{7^9}{7^3} &= 7^{9-3}\\ &= 7^6 \end{aligned}$$

Se desejar o valor numérico: $7^6=117\,649$.

3) Expoente negativo e reciprocidade

Enunciado: Escreva $4^{-3}$ como fração.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} 4^{-3} &= \dfrac{1}{4^3}\\ &= \dfrac{1}{64} \end{aligned}$$

4) Potência de potência (com número grande)

Enunciado: Simplifique $(10^2)^5$.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} (10^2)^5 &= 10^{2\cdot 5}\\ &= 10^{10} \end{aligned}$$

Valor: $10^{10}=10\,000\,000\,000$.

5) Potência de produto (separe fatores)

Enunciado: Calcule $(6\cdot 5)^2$ usando as propriedades.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} (6\cdot 5)^2 &= 6^2\cdot 5^2\\ &= 36\cdot 25\\ &= 900 \end{aligned}$$

6) Notação científica e potência de 10

Enunciado: Escreva $0{,}000072$ em notação científica.

👀 Ver solução passo a passo

$$0{,}000072=7{,}2\times 10^{-5}$$

7) Misturando propriedades (produto + quociente)

Enunciado: Simplifique $\dfrac{2^8\cdot 2^3}{2^5}$.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} \dfrac{2^8\cdot 2^3}{2^5} &= \dfrac{2^{11}}{2^5}\\ &= 2^{11-5}\\ &= 2^6\\ &= 64 \end{aligned}$$

8) Expoente fracionário (ligação com raiz)

Enunciado: Calcule $27^{\tfrac{2}{3}}$.

👀 Ver solução passo a passo

$$\begin{aligned} 27^{\tfrac{2}{3}} &= (\sqrt[3]{27})^2\\ &= 3^2\\ &= 9 \end{aligned}$$

Conclusão: como fixar potenciação de forma inteligente

Para dominar potenciação, pratique as propriedades diariamente, resolva exercícios variados e valide seus resultados. Use potências de 10 para estimar e converter medidas com agilidade. Depois, avance para logaritmos e PG. Reforce com os Mapas Mentais e o eBook de Fórmulas.

FAQ — dúvidas frequentes sobre potenciação

1) O que significa elevar um número a um expoente?

Elevar é repetir multiplicações da mesma base. Em $a^n$, multiplica-se $a$ por ele mesmo $n$ vezes. Essa notação simplifica cálculos e aparece em medidas, ciências e finanças.

2) Quais são as principais propriedades dos expoentes?

Produto e quociente de potências de mesma base, potência de potência, potência de produto, expoente zero e expoente negativo. Com elas, é possível simplificar expressões rapidamente.

3) Como funcionam potências de 10 na prática?

Servem para escrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, $3{,}5\cdot 10^6$ e $8{,}1\cdot 10^{-4}$. Ajudam em estimativas e conversões rápidas.