Princípio Fundamental da Contagem — Conceito, Fórmula e Exercícios

Princípio Fundamental da Contagem — Guia Completo com Exercícios

O Princípio Fundamental da Contagem é a base da Análise Combinatória . Ele permite calcular o número total de possibilidades quando um processo acontece em etapas sucessivas e independentes.

Esse princípio sustenta conceitos como arranjo simples, combinação simples, permutação simples e permutação com repetição.

Enunciado do Princípio Fundamental da Contagem

Se um processo ocorre em k etapas, e cada etapa pode ser realizada de \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) maneiras, então o número total de possibilidades é:

\[ \text{Total} = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdots n_k \]

Essa lógica também explica o surgimento do fatorial, dos coeficientes binomiais e do Triângulo de Pascal.

Quando usar esse princípio?

Quando o processo acontece em etapas sucessivas;
Quando uma escolha não interfere nas possibilidades das outras;
Quando o objetivo é apenas contar possibilidades.

Na Análise Combinatória, esse princípio é sempre o primeiro passo para resolver problemas de contagem.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: Uma pessoa escolhe uma camisa (4 opções) e uma calça (3 opções). \[ 4 \cdot 3 = 12 \]

Exemplo 2: Uma senha possui 2 letras e 3 algarismos. \[ 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 676000 \]

Exercícios resolvidos (ENEM e concursos)

Exercício 1

Um restaurante oferece 3 entradas, 4 pratos principais e 2 sobremesas.

Ver solução

\[ 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24 \]

Exercício 2

Uma placa é formada por 3 letras e 4 números.

Ver solução

\[ 26^3 \cdot 10^4 = 175.760.000 \]

Exercício 3

De quantas formas 5 livros diferentes podem ser organizados?

Ver solução

Isso é uma permutação simples: \[ 5! = 120 \]

Exercício 4

Quantos códigos de 3 letras e 2 números distintos podem ser formados?

Ver solução

\[ 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 10 \cdot 9 = 1.404.000 \]

Exercício 5

Quantas combinações de 6 números podem ser escolhidas dentre 60?

Ver solução

Veja o conceito de combinação simples: \[ \binom{60}{6} \]

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.