Prisma hexagonal

Prisma hexagonal: definição, fórmulas, planificação e exercícios

Prisma hexagonal

Guia completo: definição, elementos, planificação, fórmulas, exemplos resolvidos (passo a passo vertical) e exercícios.

Imagem do artigo: prisma hexagonal.

1) O que é um prisma hexagonal?

É um prisma cujas bases são hexágonos congruentes e paralelos. As faces laterais são 6 retângulos quando o prisma é reto (arestas laterais perpendiculares às bases) ou 6 paralelogramos quando é oblíquo.

Como todo prisma, é um poliedro. É regular quando a base é um hexágono regular; veja o panorama em Prismas regulares.

2) Elementos do prisma hexagonal

Faces: 8 (6 laterais + 2 bases);
Arestas: 18 (6 na base inferior, 6 na superior, 6 laterais);
Vértices: 12 (6 em cada base);
Altura $h$: distância entre os planos das bases (no reto, coincide com a aresta lateral);
Perímetro da base $p$ e Área da base $A_b$.

Dica: relembre a Fórmula de Euler ($V-E+F=2$) e compare com os Sólidos de Platão.

3) Planificação do prisma hexagonal

Ao “abrir” o prisma obtemos um retângulo de dimensões $p\times h$ (faixa lateral) dividido em 6 retângulos, mais duas bases hexagonais. Para mais exemplos de planificações, veja Paralelepípedo e Prisma pentagonal.

4) Fórmulas principais

Volume (qualquer prisma): $V = A_b \cdot h$

Área lateral — prisma reto: $A_L = p \cdot h$

Área lateral — prisma oblíquo: $A_L = p \cdot g$ (geratriz $g$)

Área total: $A_T = A_L + 2A_b$

Hexágono regular (lado $a$)

Perímetro: $p=6a$

Área da base: $A_b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$

No prisma hexagonal regular e reto: \[ A_L=6ah,\qquad A_T=6ah+2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2,\qquad V=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2h. \]

O hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros: revise em Área de triângulo.

5) Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Volume de um prisma hexagonal regular

Situação-problema. Um reservatório tem formato de prisma hexagonal regular reto com lado $a=5\text{ cm}$ e altura $h=30\text{ cm}$. Calcule o volume.

Ver solução

$$\begin{aligned} A_b &= \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 5^2\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 25\\ &= \frac{75\sqrt{3}}{2}\\[6pt] V &= A_b \cdot h\\ &= \frac{75\sqrt{3}}{2}\cdot 30\\ &= 1125\sqrt{3}\ \text{cm}^3\\ &\approx \boxed{1948{,}56\ \text{cm}^3} \end{aligned}$$

Exemplo 2 — Área total de um prisma hexagonal reto

Situação-problema. Um totem publicitário é um prisma hexagonal reto de altura $h=1{,}8\ \text{m}$. A base é um hexágono regular de lado $a=0{,}25\ \text{m}$. Calcule a área total.

Ver solução

$$\begin{aligned} p &= 6a\\ &= 6\cdot 0{,}25\\ &= 1{,}5\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 1{,}5\cdot 1{,}8\\ &= 2{,}70\ \text{m}^2\\[6pt] A_b &= \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot (0{,}25)^2\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 0{,}0625\\ &= 0{,}16238\ \text{m}^2\ (\text{aprox.})\\[6pt] A_T &= A_L + 2A_b\\ &= 2{,}70 + 2\cdot 0{,}16238\\ &= \boxed{3{,}0248\ \text{m}^2\ (\text{aprox.})} \end{aligned}$$

Exemplo 3 — Planificação com aba de cola

Situação-problema. Para montar um prisma hexagonal regular de $a=6\ \text{cm}$ e $h=20\ \text{cm}$, você cortará a planificação (faixa $p\times h$ + 2 bases) e incluirá 1 aba de cola de $1\ \text{cm}\times h$. Qual a área total da chapa?

Ver solução

$$\begin{aligned} p &= 6a\\ &= 36\\[6pt] A_L &= p\cdot h\\ &= 36\cdot 20\\ &= 720\ \text{cm}^2\\[6pt] A_b &= \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36\\ &= 54\sqrt{3}\ \text{cm}^2\\[6pt] A_{\text{chapa (sem abas)}} &= A_L + 2A_b\\ &= 720 + 108\sqrt{3}\\[6pt] A_{\text{aba}} &= 1\cdot h\\ &= 1\cdot 20\\ &= 20\\[6pt] A_{\text{total}} &= 720 + 108\sqrt{3} + 20\\ &= \boxed{740 + 108\sqrt{3}\ \text{cm}^2}\\ &\approx \boxed{927{,}06\ \text{cm}^2} \end{aligned}$$

6) Exercícios propostos

(Regular) $a=4\ \text{cm}$, $h=18\ \text{cm}$. Calcule $A_L$, $A_b$ e $A_T$.
(Geral) Um prisma hexagonal reto tem $p=54\ \text{cm}$ e $h=12\ \text{cm}$. Se $A_b=140\ \text{cm}^2$, encontre $A_T$ e $V$.
(Regular) Determine $h$ para obter $V=2{,}4\text{ L}$ quando $a=7\ \text{cm}$.
(Planificação) Para $a=5\ \text{cm}$, $h=16\ \text{cm}$, compute a área da chapa sem abas e com uma aba $1\ \text{cm}\times h$.
(Escala) Aumente todas as dimensões em $k=1{,}2$. Como variam $A_T$ e $V$?

7) Continue estudando

Prismas regulares (guia) Prisma pentagonal Planificação do prisma pentagonal Poliedros Fórmula de Euler Sólidos de Platão Área de Triângulo Paralelepípedo

8) Materiais recomendados

🧠 Mapas Mentais de Matemática 🎯 ENEM Matemática 📚 Coleção 10 eBooks 🗃️ Banco de Questões de Matemática 📺 Canais Oficiais de Matemática

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.