Marya Paixão prestou o concurso para o cargo de Assuntos Educacionais na UFOB, em Barreiras. Como não havia se preparado para a prova de Matemática, decidiu chutar todas as respostas dessa disciplina. Sabendo que a prova de Matemática continha 5 questões, e que cada uma delas possui 5 alternativas (com apenas uma correta), qual é a probabilidade de Marya acertar exatamente 3 questões?
Alternativas:
- (A) 2,56%
- (B) 5,12%
- (C) 10,24%
- (D) 12,80%
- (E) 25,60%
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Queremos calcular a probabilidade de Marya acertar exatamente 3 das 5 questões chutadas.
Essa situação segue o modelo da distribuição binomial:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 – p)^{n – k} \]
Onde:
- \( n = 5 \) (número de questões)
- \( k = 3 \) (acertos desejados)
- \( p = \frac{1}{5} = 0{,}2 \) (probabilidade de acerto em uma questão)
Substituindo os valores:
\[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0{,}2)^3 \cdot (0{,}8)^2 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}64 = 0{,}0512 \]
Resposta correta: (B) 0,0512 ou 5,12%
Como resolver esse tipo de questão?
Esse tipo de problema envolve a Distribuição Binomial, que é usada quando temos uma quantidade fixa de tentativas (n), cada uma com apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No caso da Marya, cada tentativa é uma questão da prova, e o sucesso é quando ela acerta a questão ao “chutar”.
A fórmula da probabilidade binomial é:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 – p)^{n – k} \]
Onde:
- \( n \) é o número total de tentativas (ou questões);
- \( k \) é o número de sucessos (acertos desejados);
- \( p \) é a probabilidade de sucesso (acertar uma questão);
- \( 1 – p \) é a probabilidade de fracasso (errar uma questão).
Neste tipo de questão de múltipla escolha com 5 alternativas, a chance de acerto ao chutar é: \[ p = \frac{1}{5} = 0{,}2 \]
A distribuição binomial permite calcular com precisão a probabilidade de ocorrerem exatamente, ao menos ou no máximo k sucessos (acertos), o que é extremamente útil em provas e concursos.
Para aplicar corretamente, lembre-se de identificar:
- Quantas vezes o experimento é repetido (número de questões);
- Qual a chance de sucesso em cada tentativa (valor de \( p \));
- Se a pergunta exige exatamente, no mínimo ou no máximo certo número de acertos.
Com esses dados, basta aplicar a fórmula e resolver com cuidado. Esse tipo de questão é muito comum em concursos, simulados e avaliações de probabilidade!
Mais Questões Resolvidas – Probabilidade com Distribuição Binomial
Veja a seguir mais dois exemplos de questões clássicas envolvendo acertos por “chute” em provas de múltipla escolha, com soluções completas para você entender e dominar esse tipo de problema.
Questão 1 João fez uma prova com 8 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas (apenas uma correta). Sem ter estudado, ele decidiu chutar todas as respostas. Qual a probabilidade de ele acertar exatamente 2 questões?
Alternativas:
- (A) 0,2787
- (B) 0,2936
- (C) 0,3154
- (D) 0,3277
- (E) 0,3392
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Neste caso: \( n = 8 \), \( k = 2 \), \( p = \frac{1}{4} = 0{,}25 \)\[ P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot (0{,}25)^2 \cdot (0{,}75)^6 \]Calculando: \[ \binom{8}{2} = 28,\quad 0{,}25^2 = 0{,}0625,\quad 0{,}75^6 \approx 0{,}17798 \] \[ P(X = 2) = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}17798 \approx 0{,}3112 \]✅ Resposta correta: Aproximadamente 0,311 → alternativa mais próxima: (C) 0,3154 ou 31,54%
Questão 2 Carlos enfrentou uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 3 alternativas. Sem saber o conteúdo, ele chutou todas. Qual a probabilidade de ele acertar pelo menos 4 questões?
Alternativas:
- (A) 0,2001
- (B) 0,2374
- (C) 0,2837
- (D) 0,3149
- (E) 0,3672
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Aqui temos: \( n = 10 \), \( p = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \), queremos \( P(X \geq 4) \)Usamos o complemento: \[ P(X \geq 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] \]Calculando cada termo com a fórmula binomial:\[ P(X = k) = \binom{10}{k} \cdot (0{,}3333)^k \cdot (0{,}6667)^{10 – k} \]Após cálculos:– \( P(0) \approx 0{,}0173 \) – \( P(1) \approx 0{,}0866 \) – \( P(2) \approx 0{,}1951 \) – \( P(3) \approx 0{,}2601 \)Somando: \[ P(X < 4) \approx 0{,}0173 + 0{,}0866 + 0{,}1951 + 0{,}2601 = 0{,}5591 \]Portanto: \[ P(X \geq 4) = 1 - 0{,}5591 = 0{,}4409 \]✅ Resposta correta: Nenhuma alternativa coincide exatamente, mas a mais próxima é (E) 0,3672 ou 36,72% — pode-se revisar com mais precisão usando software estatístico.
Questão 3 Renata fez uma prova com 7 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 alternativas (apenas uma correta). Como ela não sabia o conteúdo, resolveu chutar todas. Qual a probabilidade de ela acertar **nenhuma** das questões?
Alternativas:
- (A) 0,1780
- (B) 0,2220
- (C) 0,2791
- (D) 0,1335
- (E) 0,3500
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Temos: \( n = 7 \), \( p = \frac{1}{4} = 0{,}25 \), queremos \( P(X = 0) \)\[ P(X = 0) = \binom{7}{0} \cdot (0{,}25)^0 \cdot (0{,}75)^7 = 1 \cdot 1 \cdot (0{,}75)^7 \] \[ P(X = 0) \approx (0{,}75)^7 \approx 0{,}1335 \]✅ Resposta correta: alternativa corresponde D. 0,1335 ou 13,35%, o que indica erro nas alternativas fornecidas (devem ser ajustadas para coerência).
Questão 4 Lucas participou de uma prova com 6 questões, cada uma com 3 alternativas. Ele decidiu responder todas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de acertar **pelo menos uma** questão?
Alternativas:
- (A) 0,7037
- (B) 0,7812
- (C) 0,8832
- (D) 0,9124
- (E) 0,9642
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Aqui: \( n = 6 \), \( p = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \) Queremos \( P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) \)\[ P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (0{,}3333)^0 \cdot (0{,}6667)^6 = (0{,}6667)^6 \] \[ P(X = 0) \approx 0{,}0878 \] \[ P(X \geq 1) = 1 – 0{,}0878 = 0{,}9122 \]✅ Resposta correta: (D) 0,9124 ou 91,24% (aproximação coerente)
