PROFMAT 2018 – Questão 11 | Potências e Raízes
Se \(a\) é um número real tal que \(0 < a < 1\), qual dos números abaixo é o maior?
(A) \(\sqrt[3]{a^2}\)
(B) \(\sqrt[3]{a}\)
(C) \(\sqrt{a}\)
(D) \(a\)
(E) \(a^2\)
Solução passo a passo:
Como \(0 < a < 1\), temos que:
\[ a^2 < a < 1 \quad\text{e}\quad a^3 < a^2 < a \]
Agora aplicando a raiz cúbica e a raiz sexta, obtemos:
\[ \sqrt[3]{a^2} < \sqrt[3]{a} < \sqrt{a} \quad\text{e}\quad \sqrt[6]{a^3} < \sqrt[6]{a^2} \]
Portanto, a ordem crescente dos números é:
\[ a^2 < a < \sqrt[3]{a^2} < \sqrt[3]{a} < \sqrt{a} \]
Logo, o maior número é \(\sqrt[3]{a}\).
Resposta: (B)
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