Na figura, os triângulos \(ABC\), \(CDE\), \(EFG\) e \(GHI\) são equiláteros, sendo \(CD\) uma altura de \(ABC\), \(EF\) uma altura de \(CDE\) e \(GH\) uma altura de \(EFG\). Se \(AB = 1\), a medida de \(GI\) é igual a:
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) \(\frac{9}{16}\)
(D) \(\frac{27}{64}\)
(E) \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\)
Solução passo a passo:
Como \(CD\) é a altura do triângulo equilátero \(ABC\) de lado 1:
\[ CD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
A altura do triângulo equilátero \(CDE\) é proporcional à altura do anterior:
\[ EF = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot CD = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \]
Para o próximo triângulo equilátero \(EFG\), temos:
\[ GH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot EF = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \]
Como \(GI = GH\), segue que:
\[ GI = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8} \]
Resposta: (E) \(\frac{3\sqrt{3}}{8}\)
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