PROFMAT 2022 – Questão 29

PROFMAT 2022 – Questão 29 | Equações Quadráticas e Viète
PROFMAT 2022 – Questão 29 | Equações Quadráticas e Viète

Se \( u \) e \( v \) são as soluções da equação

\[ x^2 – sx + p = 0, \quad p \neq 0 \]

então \( (u – v)^2 \) é igual a:

(A) \( s^2 – 4p \)

(B) \( s^2 + 4p \)

(C) \( s^2 – 2p \)

(D) \( s^2 + 2p \)

(E) \( s^2 – 8p \)

Ver solução passo a passo

Resposta correta: (A)

1. **Aplicando as relações de Viète** Para a equação \(x^2 – sx + p = 0\), temos:

\[ u + v = s \quad \text{e} \quad uv = p \]

2. **Desenvolvendo \((u-v)^2\)** \[ (u-v)^2 = u^2 – 2uv + v^2 = (u^2 + 2uv + v^2) – 4uv \] \[ (u-v)^2 = (u+v)^2 – 4uv \] \[ (u-v)^2 = s^2 – 4p \]

Portanto, o resultado final é:

\[ \boxed{s^2 – 4p} \]

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