PROFMAT 2023 – Questão 24 | Equações do 2º Grau
Se as equações do segundo grau \[ x^2 – (m+n)x + n-3 = 0 \] e \[ 6x^2 – 2nx + 3m + 2n = 0 \] têm as mesmas raízes, então \( m^2+n^2 \) é:
(A) um número par.
(B) um quadrado perfeito.
(C) um número primo.
(D) um cubo perfeito.
(E) um múltiplo de 4.
(B) um quadrado perfeito.
(C) um número primo.
(D) um cubo perfeito.
(E) um múltiplo de 4.
Resposta correta: (C) um número primo
Para que duas equações de 2º grau tenham as mesmas raízes, seus coeficientes correspondentes devem ser proporcionais. Assim, temos o sistema: \[ \begin{cases} -2n = -6(m+n) \\ 3m + 2n = 6(n-3) \end{cases} \]
Simplificando: \[ 3m = -2n \quad \text{e} \quad 3m + 2n = 6n – 18 \]
Resolvendo o sistema, encontramos: \[ m = -2 \quad \text{e} \quad n = 3 \]
Logo: \[ m^2 + n^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] que é um número primo.
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