PROFMAT 2024 – Questão 11 | Volume de Tetraedro no Cubo
Os segmentos AB, AC e AD estão contidos em arestas de um cubo e medem, respectivamente, \( \frac{1}{2} \), \( \frac{2}{3} \) e \( \frac{3}{4} \) da medida das arestas do cubo. O volume do tetraedro \( ABCD \) mede qual fração do volume do cubo?
(A) \( \frac{1}{2} \)
(B) \( \frac{1}{4} \)
(C) \( \frac{1}{12} \)
(D) \( \frac{1}{24} \)
(E) \( \frac{1}{72} \)
(B) \( \frac{1}{4} \)
(C) \( \frac{1}{12} \)
(D) \( \frac{1}{24} \)
(E) \( \frac{1}{72} \)
Resposta correta: (D) \( \frac{1}{24} \).
Considerando a aresta do cubo como unidade, o volume de um tetraedro retângulo formado pelos segmentos \( AB, AC, AD \) é dado por:
\[ V = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \]
Simplificando: \[ V = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \]
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