Uma escada extensível cujo comprimento pode variar entre 10 e 20 metros está apoiada em uma parede vertical de altura superior a 20 metros, de forma que a base da escada dista 5 metros da base da parede, medidos sobre um chão horizontal.
Quais são a menor e a maior altura que a escada poderá alcançar, com a extremidade superior apoiada na parede?
(B) \( 5\sqrt{3} \) e \( 10\sqrt{3} \) metros
(C) \( 5\sqrt{5} \) e \( 5\sqrt{17} \) metros
(D) \( 5\sqrt{5} \) e \( 5\sqrt{15} \) metros
(E) \( 10\sqrt{3} \) e \( 5\sqrt{17} \) metros
Resposta correta: (A) \( 5\sqrt{3} \) e \( 5\sqrt{15} \) metros.
Utilizando o Teorema de Pitágoras para calcular as alturas mínima \( h_1 \) e máxima \( h_2 \):
Para o comprimento mínimo de 10 m: \[ h_1^2 + 5^2 = 10^2 \quad \Rightarrow \quad h_1^2 + 25 = 100 \quad \Rightarrow \quad h_1 = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
Para o comprimento máximo de 20 m: \[ h_2^2 + 5^2 = 20^2 \quad \Rightarrow \quad h_2^2 + 25 = 400 \quad \Rightarrow \quad h_2 = \sqrt{375} = 5\sqrt{15} \]
Assim, as alturas mínima e máxima que a escada poderá alcançar são, respectivamente: \[ 5\sqrt{3} \text{ m e } 5\sqrt{15} \text{ m.} \]
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