Um círculo está inscrito em um setor circular de 90 graus.
A razão entre a área do círculo inscrito e a área do setor que o contém é igual a:
(B) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
(C) \( \frac{4}{1+\sqrt{2}} \)
(D) \( \frac{4}{\sqrt{2}} \)
(E) \( \frac{4}{(1+\sqrt{2})^2} \)
Resposta correta: (E) \( \frac{4}{(1+\sqrt{2})^2} \).
Sejam \( R \) e \( r \) os raios do setor e do círculo inscrito, respectivamente.
Traçando uma perpendicular do centro do círculo inscrito a um dos lados do setor e unindo este centro ao do quadrante, formamos um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa \( R-r \) e catetos iguais a \( r \):
\[ R – r = r\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{R}{1+\sqrt{2}} \]
A área do círculo inscrito é \( A_c = \pi r^2 \) e a área do setor de 90° é \( A_s = \frac{\pi R^2}{4} \).
Logo, a razão entre as áreas é: \[ \frac{A_c}{A_s} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi R^2}{4}} = \frac{4r^2}{R^2} = \frac{4}{(1+\sqrt{2})^2} \]
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