Descrição: Questão da FGV, aplicada no concurso para SEFAZ-PR – Auditor Fiscal (2025 – Prova Manhã), no conteúdo de Matemática – Progressões. Exige modelagem com progressão aritmética a partir de uma situação envolvendo ritmo de passos em uma escada.
Enunciado:
Um arquiteto projetou uma escada que leva do térreo (base da escada) ao primeiro pavimento de um prédio (topo da escada).
Ele percebeu que, para ir da base ao topo, se pudesse subir a escada a um ritmo de:
- 3 degraus por passo, precisaria dar n passos;
- 4 degraus por passo, precisaria dar p passos;
- 6 degraus por passo, precisaria dar q passos;
- 12 degraus por passo, precisaria dar r passos.
Se os valores de n, p, q e r, nessa ordem, são os quatro primeiros termos de uma progressão aritmética em que o décimo termo vale -20, a quantidade total de degraus dessa escada é um número entre:
- A) 40 e 44
- B) 45 e 49
- C) 50 e 54
- D) 55 e 59
- E) 60 e 64
Ver Solução
Se o número total de degraus é fixo, e a pessoa sobe em grupos de degraus, então:
Total de degraus = número de passos × degraus por passo
Logo:
\[ n = \frac{D}{3},\quad p = \frac{D}{4},\quad q = \frac{D}{6},\quad r = \frac{D}{12} \]Sabemos que \( n, p, q, r \) formam uma P.A., ou seja:
\[ \frac{D}{3},\quad \frac{D}{4},\quad \frac{D}{6},\quad \frac{D}{12} \]Verificando se isso realmente é uma PA: verificamos a razão entre os termos consecutivos:
- \( p – n = \frac{D}{4} – \frac{D}{3} = \frac{3D – 4D}{12} = -\frac{D}{12} \)
- \( q – p = \frac{D}{6} – \frac{D}{4} = \frac{2D – 3D}{12} = -\frac{D}{12} \)
- \( r – q = \frac{D}{12} – \frac{D}{6} = \frac{1D – 2D}{12} = -\frac{D}{12} \)
Logo, de fato, é uma P.A. de razão negativa, com razão \( -\frac{D}{12} \). O primeiro termo é \( n = \frac{D}{3} \). Usamos a fórmula do termo geral da P.A.:
\[ a_{10} = a_1 + 9r = -20 \]\[ \frac{D}{3} + 9\left(-\frac{D}{12}\right) = -20 \]
\[ \Rightarrow \frac{D}{3} – \frac{9D}{12} = -20 \]
\[ \Rightarrow \frac{4D – 9D}{12} = -20 \]
\[ \Rightarrow \frac{-5D}{12} = -20 \]
\[ \Rightarrow D = \frac{12 \times 20}{5} = \frac{240}{5} = 48 \]
Portanto, a escada tem 48 degraus.
Resposta correta: B) 45 e 49
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