Propriedades para Expoentes Racionais
Quando o expoente é racional, isto é, um número da forma \(\tfrac{m}{n}\) com \(m \in \mathbb{Z}\) e \(n \in \mathbb{N}^{*}\), as potências se conectam diretamente às raízes. Dominar essas propriedades acelera a simplificação de expressões e a resolução de questões do ENEM e de concursos.
Revisão rápida: o que significa \(a^{\tfrac{m}{n}}\)?
Definição Fundamental
\[
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \quad \text{com } a>0,\ n\in\mathbb{N}^{*}
\]
\[
16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8
\]
Propriedades (com \(m,n,r,s\) inteiros; \(n,s>0\))
1) Produto de potências de mesma base
Regra do Produto
\[
a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{m}{n}+\frac{r}{s}}
\]
\[
9^{\frac{1}{2}}\cdot 9^{\frac{1}{2}}=9^{1}=9
\]
2) Quociente de potências de mesma base
Regra do Quociente
\[
\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{r}{s}}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{r}{s}}
\qquad (a\neq 0)
\]
\[
27^{\frac{2}{3}} \div 27^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} = 3
\]
3) Potência de um produto
Produto dentro do Expoente
\[
(a\cdot b)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}
\]
\[
(4\cdot 25)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}}\cdot 25^{\frac{1}{2}} = 2\cdot 5=10
\]
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4) Potência de um quociente
Quociente dentro do Expoente
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}=\frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}}
\qquad (b\neq 0)
\]
\[
\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3}
\]
5) Potência de potência (expoente racional elevado a racional)
Potência de Potência
\[
\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{r}{s}} = a^{\frac{mr}{ns}}
\]
\[
\left(32^{\frac{1}{5}}\right)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
\]
Observações importantes:
• Exigir \(a>0\) evita ambiguidade com raízes pares.
• Para bases negativas, é preciso analisar o denominador do expoente racional e a paridade da raiz para garantir resultado real.
• Exigir \(a>0\) evita ambiguidade com raízes pares.
• Para bases negativas, é preciso analisar o denominador do expoente racional e a paridade da raiz para garantir resultado real.
Exercícios Resolvidos
Exercício: Simplifique \( 81^{\frac{3}{4}} \cdot 81^{-\frac{1}{2}} \).
\[
81^{\frac{3}{4}} \cdot 81^{-\frac{1}{2}}
= 81^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}
= 81^{\frac{1}{4}}
= \sqrt[4]{81}
= 3
\]
Exercício: Calcule \( \left(\dfrac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}} \).
\[
\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}
= \frac{16^{\frac{3}{4}}}{81^{\frac{3}{4}}}
= \frac{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}{\left(\sqrt[4]{81}\right)^3}
= \frac{2^3}{3^3}
= \frac{8}{27}
\]
Para estudar mais
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