A altura \( h \) que uma bola alcança em relação ao solo, em metros, é descrita pela função: \[ h(d) = -\frac{1}{12}d^2 + d, \] em que \( d \) é a distância, em metros, desde o chute até a bola tocar novamente o solo.
Com base nessas informações, e considerando 3,14 como o valor aproximado de \( \pi \), julgue os seguintes itens.
35. Para que a função quadrática apresentada represente a altura do movimento efetivo da bola, é necessário que \( d \in [0, 12] \).
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A função da altura da bola é: \[ h(d) = -\frac{1}{12}d^2 + d \] Essa é uma função quadrática que representa uma parábola voltada para baixo (coeficiente de \( d^2 \) negativo).
Para representar o movimento efetivo da bola:
A função deve representar a trajetória desde o chute até a bola tocar o solo novamente, ou seja, o intervalo onde \( h(d) \geq 0 \). Precisamos encontrar os pontos onde \( h(d) = 0 \).
Resolvendo a equação:
\[ -\frac{1}{12}d^2 + d = 0 \Rightarrow d\left( -\frac{1}{12}d + 1 \right) = 0 \] \[ \Rightarrow d = 0 \quad \text{ou} \quad -\frac{1}{12}d + 1 = 0 \] \[ -\frac{1}{12}d = -1 \Rightarrow d = 12 \]
Portanto, o domínio prático do movimento é \( d \in [0, 12] \).
Conclusão: A afirmativa está correta. O intervalo onde a função representa o movimento real da bola é \( [0, 12] \).
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36. Se o diâmetro de uma bola é 20 cm, então o seu volume é inferior a 4.000 cm³.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
O diâmetro da bola é de 20 cm, então o raio \( r \) é: \[ r = \frac{20}{2} = 10 \, \text{cm} \]
Fórmula do volume de uma esfera:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Substituindo os valores:
\[ V = \frac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 10^3 \] \[ = \frac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 1000 \] \[ = \frac{4}{3} \cdot 3140 \] \[ \approx 4186{,}67 \, \text{cm}^3 \]
Conclusão: A afirmativa está errada. O volume da bola é aproximadamente 4.186,67 cm³, portanto superior a 4.000 cm³.
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37. A altura máxima que a bola atinge é superior a 4 m.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A função que representa a altura da bola é: \[ h(d) = -\frac{1}{12}d^2 + d \] Trata-se de uma parábola voltada para baixo. A altura máxima ocorre no **vértice** da parábola.
Fórmula para a abscissa do vértice:
\[ d_v = -\frac{b}{2a} \] \[ \quad \text{com} \quad a = -\frac{1}{12}, \quad b = 1 \] \[ \Rightarrow \] \[ d_v = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{12})} = \frac{1}{\frac{2}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \]
Calculando a altura máxima:
\[ h(6) = -\frac{1}{12} \cdot 6^2 + 6 \] \[ = -\frac{36}{12} + 6 = -3 + 6 = 3 \]
Conclusão: A afirmativa está errada. A altura máxima que a bola atinge é exatamente 3 metros, e não superior a 4 metros.
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