Uma quadra de vôlei mede 18 m × 9 m, sendo a altura da rede igual a 2,20 m. Em uma partida, uma jogadora bate em uma bola que estava a 3 m de altura; a bola viaja em linha reta até tocar o chão da quadra adversária. Essa jogada pode ser representada por um triângulo retângulo \( ABC \), de tal forma que os vértices \( A \) e \( B \) correspondam, respectivamente, ao ponto em que a bola foi batida e ao ponto em que a bola tocou o chão; e o segmento \( \overline{AC} \) corresponda à altura da bola em relação ao piso da quadra no momento em que a jogadora bateu na bola.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.
38. Se, após um saque em que a bola seja lançada de uma altura de 1,20 m do solo, a bola passar para a quadra adversária sem tocar a rede, então, nessa situação, entre o saque e a rede, a bola percorrerá mais de 9 m.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A rede de vôlei tem 2,20 m de altura.
A jogadora saca a bola a partir de uma altura de 1,20 m do solo.
A trajetória da bola é uma linha reta do ponto do saque até o ponto em que cruza a rede.
Problema: A bola passa pela rede (a 2,20 m de altura). A questão pergunta se, nessa situação, a distância horizontal da jogadora até a rede é superior a 9 m.
Solução:
Vamos considerar o triângulo retângulo formado pela trajetória da bola:
- cateto vertical: \( \Delta h = 2,20 – 1,20 = 1,00 \, \text{m} \)
- hipotenusa: será a distância percorrida pela bola
- cateto horizontal: \( x \) = distância entre jogadora e rede
Como a bola vai de 1,20 m até 2,20 m em linha reta, temos:
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{\tan(\theta)} \]
Mas como não temos o ângulo, melhor usar Pitágoras para estimar a distância mínima necessária para o deslocamento horizontal. Sabemos que:
\[ \text{A inclinação é de 1 m em relação à altura e a bola sobe até 2,20 m.} \Rightarrow \text{Para que ela suba 1 metro em linha reta, a trajetória precisa ser suficientemente longa.} \]
Como a bola sobe 1 metro (de 1,20 m para 2,20 m), se ela percorresse exatamente 9 metros na horizontal, a inclinação seria: \[ \tan(\theta) = \frac{1}{9} \Rightarrow \theta \approx 6{,}3^\circ \]
Isso é uma inclinação extremamente pequena. Como o movimento é linear, sim, é possível que a bola percorra mais de 9 m na horizontal para conseguir subir apenas 1 m.
Conclusão: A afirmativa está correta. A bola precisará percorrer uma distância superior a 9 m para subir de 1,20 m até 2,20 m em linha reta sem tocar a rede.
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39. A área da quadra de vôlei é igual a 162 m².
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A questão pede a área da quadra de vôlei, que mede: \[ 18 \, \text{m} \times 9 \, \text{m} \]
Calculando a área:
\[ A = 18 \cdot 9 = 162 \, \text{m}^2 \]
Conclusão: A afirmativa está correta. A área da quadra de vôlei realmente é 162 m².
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40. Se \( \angle \widehat{BAC} = 60^\circ \), então, no instante em que bateu na bola, a jogadora estava a uma distância inferior a 5 m do ponto em que a bola tocou a quadra.
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
A questão considera o triângulo retângulo \( \triangle ABC \), onde:
- \( \angle \widehat{BAC} = 60^\circ \)
- O ponto \( A \) é onde a jogadora bate na bola
- O ponto \( B \) é onde a bola toca o solo
- O ponto \( C \) está no chão, abaixo de \( A \)
Sabemos que:
- \( \angle C = 90^\circ \) (triângulo retângulo)
- \( AC \) é a altura da jogadora até o chão no momento do saque
- Queremos saber \( AB \), a distância da jogadora até o ponto onde a bola caiu
Usando trigonometria:
\[ \tan(60^\circ) = \frac{AC}{BC} \] \[ \Rightarrow \text{Mas queremos saber } AB, \text{ e temos } \angle \widehat{BAC} = 60^\circ \] \[ \Rightarrow \cos(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \]
Ou seja, usando:
\[ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \] \[ \Rightarrow \cos(60^\circ) = \frac{x}{AB} \] onde \( x = AC = 3 \, \text{m} \)
\[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{AC}{AB} \] \[ \Rightarrow AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 3 = 6 \, \text{m} \]
Conclusão: A jogadora estava a 6 m do ponto onde a bola tocou a quadra, ou seja, a afirmação de que a distância era inferior a 5 m está errada.
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