Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Raciocínio Lógico / Análise de Verdadeiros e Mentirosos
Enunciado:
Cada um dos 250 habitantes de uma ilha prefere uma fruta entre banana, maçã ou uva. Alguns deles sempre mentem e os demais sempre dizem a verdade.
Todos os habitantes responderam às seguintes perguntas:
- Sua fruta preferida é banana?
- Sua fruta preferida é maçã?
- Sua fruta preferida é uva?
Responderam “sim” a essas perguntas 140, 120 e 110 habitantes, respectivamente.
Quantos habitantes da ilha sempre mentem?
Alternativas:
- (A) 120
- (B) 110
- (C) 220
- (D) 230
- (E) 80
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1. Definindo variáveis:
- Sejam:
- \( B, M, U \): número de habitantes que preferem banana, maçã e uva.
- \( V \): número de habitantes que sempre dizem a verdade.
- \( M = 250 – V \): número de mentirosos.
2. Todos responderam a todas as 3 perguntas:
Verdadeiros respondem “sim” somente à sua fruta preferida.
Mentirosos respondem “sim” às frutas que **não são suas preferidas** (mentem).
3. Total de respostas “sim”:
- 140 disseram “sim” para banana
- 120 disseram “sim” para maçã
- 110 disseram “sim” para uva
4. Seja:
- \( b, m, u \): número de pessoas que gostam de banana, maçã e uva.
- Como todos preferem uma fruta apenas: \[ b + m + u = 250 \]
5. Agora, somando quem disse “sim” a cada fruta:
- Para banana:
- Quem diz a verdade e gosta de banana: \( b_v \)
- Quem mente e NÃO gosta de banana: \( m_m + u_m \)
- Então: \[ b_v + m_m + u_m = 140 \]
- Para maçã: \[ m_v + b_m + u_m = 120 \]
- Para uva: \[ u_v + b_m + m_m = 110 \]
6. Somando as 3 equações:
\[ (b_v + m_v + u_v) + 2(m_m + b_m + u_m) =\] \[ 140 + 120 + 110 = 370 \]
- Como os verdadeiros respondem “sim” só à sua fruta favorita: \[ b_v + m_v + u_v = V \]
- Logo: \[ V + 2(250 – V) = 370 \Rightarrow \] \[ V + 500 – 2V = 370 \Rightarrow \] \[ -V + 500 = 370 \Rightarrow \] \[ V = 130 \]
7. Habitantes que sempre mentem:
\[ 250 – 130 = \boxed{120} \]
Gabarito: (A) 120
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