Concurso: OBMEP | Ano: 2025 | Assunto: Análise Combinatória / Simetria de Cubos
Enunciado:
Quantos dados diferentes existem com faces pretas, brancas ou vermelhas, em que:
- as faces opostas tenham cores diferentes;
- as três cores apareçam em cada dado?
Alternativas:
- (A) 6
- (B) 8
- (C) 16
- (D) 22
- (E) 36
Ver Solução
1. O dado tem 6 faces → 3 pares de faces opostas.
Queremos dados onde:
- As 3 cores diferentes (preto, branco, vermelho) apareçam;
- As faces opostas tenham cores diferentes entre si.
2. Atribuição de cores aos pares de faces opostas:
As cores devem ser atribuídas em pares opostos com cores diferentes e de modo que as 3 cores sejam usadas — isso equivale a atribuir as cores aos 3 pares de faces opostas, sem repetir cores, e sem que uma mesma cor apareça em ambas as faces de um par.
Escolhemos uma permutação das três cores nos 3 pares:
- Há \( 3! = 6 \) formas de distribuir as cores nos pares (por exemplo, par 1: preto/vermelho, par 2: preto/branco, par 3: branco/vermelho).
3. Considerando rotações (dados iguais por simetria):
Para cada uma dessas 6 atribuições de cores aos pares, podemos girar o dado no espaço de forma que ele continue sendo o “mesmo dado” visualmente. Mas como as cores dos lados opostos são diferentes e cada par é distinguível pelas cores, há exatamente no máximo 8 arranjos rotacionais únicos respeitando as condições:
4. Resultado final:
Existem exatamente 8 dados diferentes (não congruentes por rotação) com as 3 cores diferentes e com pares opostos com cores diferentes.
Gabarito: (B) 8
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