Questão 18 – Geometria Plana com Quadrado em Triângulo Retângulo

Questão 18 – Geometria: Quadrado inscrito em Triângulo

Considere o triângulo \( ABC \) a seguir, de modo que \( AB = 5 \, \text{cm} \) e \( AC = 7 \, \text{cm} \). O polígono \( AFDE \) é um quadrado, tal que os pontos \( D \), \( E \) e \( F \) pertencem aos lados \( BC \), \( AB \) e \( AC \), respectivamente.

De acordo com as informações, qual é a medida do lado do quadrado?

Figura: quadrado inscrito no triângulo.

• a) 2 cm
• b) 3 cm
• c) \( \dfrac{35}{12} \) cm
• d) \( \dfrac{5}{7} \) cm
• e) 1,5 cm

✅ Resolução passo a passo:

1. Analisando a figura:

Sabemos que o quadrado \( AFDE \) está inscrito no triângulo \( ABC \). Como o triângulo é retângulo em \( A \), e o quadrado está apoiado nos catetos \( AB = 5 \) e \( AC = 7 \), podemos usar a relação que envolve o lado do quadrado inscrito em triângulo retângulo.

2. Fórmula para lado do quadrado inscrito:

O lado \( x \) do quadrado inscrito em triângulo retângulo com catetos \( a \) e \( b \) é dado por:

\( x = \dfrac{ab}{a + b} \)

Substituindo \( a = 5 \) e \( b = 7 \):

\( x = \dfrac{5 \cdot 7}{5 + 7} = \dfrac{35}{12} \, \text{cm} \)

🔚 Conclusão: A medida do lado do quadrado é \( \dfrac{35}{12} \, \text{cm} \).

✅ Alternativa correta: c) \( \dfrac{35}{12} \, \text{cm} \)

📌 Indicações para aprofundar:

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Semelhança de Triângulos: Casos, Conceitos e Aplicações

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