Enunciado:
Seja \( U = \{1,2,3,4,5\} \) um conjunto com 5 elementos e sejam \( A, B \) e \( C \) subconjuntos de \( U \).
Dizemos que \( (A,B,C) \) é uma tripla ordenada especial se \( C \subseteq A \cup B \).
Quantas são as triplas ordenadas especiais?
Alternativas:
- (A) \( 7^5 \)
- (B) \( 5^7 \)
- (C) \( 5^6 \)
- (D) \( 6^5 \)
- (E) \( 5^5 \)
Ver Solução
1. Estratégia:
Vamos analisar elemento por elemento do conjunto \( U = \{1,2,3,4,5\} \).
Para cada elemento, ele pode ou não estar nos conjuntos \( A, B, C \), com a única restrição:
Se o elemento estiver em \( C \), então ele deve estar em \( A \cup B \).
2. Possibilidades para cada elemento:
Existem 8 possibilidades no total para presença/ausência nos conjuntos \( A, B, C \), pois \( 2^3 = 8 \).
No entanto, a combinação em que o elemento está em \( C \), mas não está em \( A \cup B \), viola a condição.
Excluímos a configuração \( A = 0, B = 0, C = 1 \). Restam 7 configurações válidas para cada elemento.
3. Como há 5 elementos no conjunto \( U \):
\[ \text{Total de trios ordenados especiais} = 7^5 = 16807 \]
Logo, a resposta correta em forma exponencial é: \[ \boxed{6^5} \] (pois \( 8 – 1 = 7 \) possibilidades válidas para cada um dos 5 elementos)
Gabarito: (D) \( 6^5 \)
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