Resolva as equações apresentadas:
a) \( 2^{x – 2} = \dfrac{8}{2^{x – 3}} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo o 8 como potência de base 2:
Sabemos que:
$$ 8 = 2^3 $$
Substituindo na equação:
$$ 2^{x – 2} = \dfrac{2^3}{2^{x – 3}} $$
🔎 Etapa 2 – Aplicando a propriedade da divisão de potências:
$$ \dfrac{2^3}{2^{x – 3}} = 2^{3 – (x – 3)} = 2^{3 – x + 3} = 2^{6 – x} $$
A equação agora é:
$$ 2^{x – 2} = 2^{6 – x} $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ x – 2 = 6 – x $$
$$ 2x = 8 \Rightarrow x = 4 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{4\}} \)
b) \( 25^{2x + 2} = \left( \dfrac{1}{5} \right)^{5x – 1} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências com mesma base:
- \( 25 = 5^2 \Rightarrow 25^{2x + 2} = (5^2)^{2x + 2} = 5^{4x + 4} \)
- \( \dfrac{1}{5} = 5^{-1} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{5} \right)^{5x – 1} = (5^{-1})^{5x – 1} = 5^{-(5x – 1)} = 5^{-5x + 1} \)
Agora temos a equação:
$$ 5^{4x + 4} = 5^{-5x + 1} $$
🔎 Etapa 2 – Igualando os expoentes:
$$ 4x + 4 = -5x + 1 $$
$$ 4x + 5x = 1 – 4 \Rightarrow 9x = -3 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ -\dfrac{1}{3} \right\}} \)
c) \( 5^{x^2 – 2} \cdot 25 = \left( \dfrac{1}{125} \right)^{-x} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo tudo com base 5:
- \( 25 = 5^2 \)
- \( 125 = 5^3 \Rightarrow \dfrac{1}{125} = 5^{-3} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{125} \right)^{-x} = 5^{-3 \cdot (-x)} = 5^{3x} \)
Substituindo na equação:
$$ 5^{x^2 – 2} \cdot 5^2 = 5^{3x} $$
🔎 Etapa 2 – Aplicando a propriedade de multiplicação de potências:
$$ 5^{x^2 – 2 + 2} = 5^{3x} \Rightarrow 5^{x^2} = 5^{3x} $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ x^2 = 3x \Rightarrow x^2 – 3x = 0 $$
$$ x(x – 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 3 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{0,\ 3\}} \)
d) \( \sqrt[3]{81^x} = \dfrac{1}{27} \)
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🔎 Etapa 1 – Reescrevendo ambos os lados com base 3:
- \( 81 = 3^4 \Rightarrow 81^x = (3^4)^x = 3^{4x} \)
- \( \sqrt[3]{81^x} = (3^{4x})^{1/3} = 3^{\frac{4x}{3}} \)
- \( 27 = 3^3 \Rightarrow \dfrac{1}{27} = 3^{-3} \)
🔎 Etapa 2 – Igualando as potências:
$$ 3^{\frac{4x}{3}} = 3^{-3} $$
🔎 Etapa 3 – Igualando os expoentes:
$$ \dfrac{4x}{3} = -3 \Rightarrow 4x = -9 \Rightarrow x = -\dfrac{9}{4} $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \left\{ -\dfrac{9}{4} \right\}} \)
