(Unimontes-MG) Todos os valores de \( x \) que satisfazem a inequação
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{4} \right)^{2x – \frac{3}{2}} $$
estão no intervalo:
- a) \([2,\ 4]\)
- b) \(]1,\ 2]\)
- c) \([0,\ 2]\)
- d) \(]1,\ 3[\)
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1) Tornando as bases iguais:
Sabemos que \( \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \), então:
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right]^{2x – \frac{3}{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2 \cdot (2x – \frac{3}{2})} $$
Agora reescrevendo o expoente da direita:
$$ 2(2x – \frac{3}{2}) = 4x – 3 $$
Portanto, a inequação vira:
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2} > \left( \frac{1}{2} \right)^{4x – 3} $$
2) Comparando expoentes:
Como a base \( \frac{1}{2} \) é menor que 1, a função é **decrescente**, e ao remover a base mantemos o sinal da desigualdade invertido:
$$ x^2 < 4x - 3 $$
3) Resolvendo a inequação do 2º grau:
$$ x^2 – 4x + 3 < 0 $$
Resolvendo:
\( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 – 12 = 4 \)
\( x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
Como o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, a parábola é voltada para cima e a inequação é satisfeita no intervalo:
$$ x \in (1,\ 3) $$
✅ Conclusão:
- Alternativa correta: d) \( ]1,\ 3[ \)
