Questão 7 – Geometria: Semelhança de Triângulos

Questão 7

(Fuvest-SP) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos \( A \) e \( B \) à reta \( r \) valem \( 2 \) e \( 4 \). As projeções ortogonais de \( A \) e \( B \) sobre essa reta são os pontos \( C \) e \( D \). Se a medida de \( \overline{CD} \) é \( 9 \), a que distância de \( C \) deverá estar o ponto \( E \), do segmento \( \overline{CD} \), para que \( \angle CEA \cong \angle DEB \)?

Semelhança de triângulos sobre reta r

Alternativas:

  • a) 3
  • b) 4
  • c) 5
  • d) 6
  • e) 7

Solução Passo a Passo:

Vamos usar semelhança de triângulos.

Semelhança de triângulos sobre reta r

Queremos que os triângulos \( \triangle ACE \) e \( \triangle BDE \) sejam semelhantes, ou seja:

\[ \angle CEA \cong \angle DEB \quad \text{e} \quad \angle C \cong \angle D \ (\text{ambos retos}) \]

Então podemos escrever a proporção:

\[ \frac{ED}{CE} = \frac{4}{2} = 2 \]

Sabemos que \( CD = 9 \), então:

\[ ED = 9 – CE \Rightarrow \frac{9 – CE}{CE} = 2 \]

Multiplicando cruzado:

\[ 9 – CE = 2 \cdot CE \Rightarrow 9 = 3 \cdot CE \Rightarrow CE = \boxed{3} \]

Resposta correta: letra a.


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