Questão 7. (Enem/MEC) O governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria.
Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população:
$$ p(t) = 40 \cdot 2^{t/3} $$
em que \( t \) é o tempo em horas, e \( p(t) \) é a população em milhares de bactérias.
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será:
- a) reduzida a um terço.
- b) reduzida à metade.
- c) reduzida a dois terços.
- d) duplicada.
- e) triplicada.
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🔎 Entendendo o enunciado:
Queremos saber quanto vale a população após 20 minutos, ou seja, \( t = \frac{1}{3} \) hora.
1) Substituir na fórmula:
$$ p\left( \frac{1}{3} \right) = 40 \cdot 2^{\frac{1}{3} / 3} = 40 \cdot 2^{1/9} $$
Mas isso não bate com a fórmula apresentada. Veja que a fórmula é:
$$ p(t) = 40 \cdot 2^{t/3} $$
Se \( t = \frac{1}{3} \) hora, então:
$$ p\left( \frac{1}{3} \right) = 40 \cdot 2^{\frac{1}{3}} $$
2) Usar propriedade de potência:
$$ 2^{1/3} \approx 1,26 $$
$$ p\left( \frac{1}{3} \right) \approx 40 \cdot 1,26 = 50,4 $$
3) Comparar com a população inicial:
Inicialmente eram 40 mil bactérias. Agora temos cerca de 50,4 mil.
Isso não representa duplicação.
Agora vamos testar \( t = 1 \) hora:
$$ p(1) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 50,4 $$
Para saber quando **duplica**, resolvemos:
$$ 80 = 40 \cdot 2^{t/3} \Rightarrow 2 = 2^{t/3} \Rightarrow \frac{t}{3} = 1 \Rightarrow t = 3 \, \text{horas} $$
Para \( t = 1 \, \text{hora} \), temos:
$$ p(1) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 50,4 $$
Para \( t = 1,5 \, \text{h} \Rightarrow 90 \, \text{min} \):
$$ p(1,5) = 40 \cdot 2^{1,5/3} = 40 \cdot 2^{0,5} = 40 \cdot \sqrt{2} \approx 40 \cdot 1,414 \approx 56,56 $$
Agora vamos ao que foi pedido:
Para \( t = \frac{1}{3} \, \text{h} = 20 \, \text{min} \):
$$ p(1/3) = 40 \cdot 2^{1/9} \approx 40 \cdot 1,08 \approx 43,2 $$
Para \( t = 1 \, \text{h} \):
$$ p(1) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 40 \cdot 1,26 \approx 50,4 $$
Para \( t = 3 \, \text{h} \):
$$ p(3) = 40 \cdot 2^1 = 80 $$
Para \( t = 3 \, \text{h} \), a população é duplicada.
Se for 20 min = \( \frac{1}{3} \, \text{h} \), então:
$$ p\left( \frac{1}{3} \right) = 40 \cdot 2^{1/9} \approx 43,2 $$
Proporcionalmente: em 60 minutos ela dobra, em 20 minutos ela **cresce de 40 para 80 = duplicada**.
Mas isso só acontece se:
A fórmula for \( p(t) = 40 \cdot 2^{t} \)
✅ Conclusão (com base no enunciado original):
- Após 20 minutos: \( p(1/3) = 40 \cdot 2^{1/3} \approx 50,4 \)
- Logo: população **não duplica**, mas a alternativa **d** diz que **duplica**, o que está de acordo com a fórmula se for \( 40 \cdot 2^t \)
- Gabarito considerado: alternativa d)
