Questão 12. (UECE) Se o número real \( k \) é a solução da equação:
$$ 9^{\sqrt{x}} – 8 \cdot 3^{\sqrt{x}} – 9 = 0 $$
então, o número \( k \) cumpre a seguinte condição:
- a) \( 1{,}5 < k < 3{,}5 \)
- b) \( 7{,}5 < k < 9{,}5 \)
- c) \( 5{,}5 < k < 7{,}5 \)
- d) \( 3{,}5 < k < 5{,}5 \)
- e) \( 1 \; \text{ou} \; 3 \)
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Vamos fazer a substituição \( y = \sqrt{x} \), então temos:
$$ 9^y – 8 \cdot 3^y – 9 = 0 $$
Sabemos que \( 9^y = (3^2)^y = (3^y)^2 \), ou seja:
$$ (3^y)^2 – 8 \cdot 3^y – 9 = 0 $$
Seja \( z = 3^y \), então a equação fica:
$$ z^2 – 8z – 9 = 0 $$
Aplicando Bhaskara:
\( z = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} \)
Logo, \( z = 9 \) ou \( z = -1 \). Como \( z = 3^y \), e isso é sempre positivo, temos \( z = 9 \).
Portanto, \( 3^y = 9 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \)
Logo, \( k = 4 \), e portanto \( 3{,}5 < k < 5{,}5 \).
Alternativa correta: d)
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