Questão 10: Equação Exponencial com Radicais
Questão 10. (Mack-SP) O valor de \( x \) na equação:
$$ \left( \frac{ \sqrt{3} }{9} \right)^{2x – 2} = \frac{1}{27} $$
é:
- a) tal que \( 2 < x < 3 \)
- b) negativo
- c) tal que \( 0 < x < 1 \)
- d) múltiplo de 2
- e) 3
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Explicação passo a passo:
Temos:
$$ \left( \frac{ \sqrt{3} }{9} \right)^{2x – 2} = \frac{1}{27} $$
Reescrevendo os termos:
$$ \sqrt{3} = 3^{1/2}, \quad 9 = 3^2 \Rightarrow \frac{ \sqrt{3} }{9} = \frac{3^{1/2}}{3^2} = 3^{-3/2} $$
Logo:
$$ (3^{-3/2})^{2x – 2} = 3^{-3/2 \cdot (2x – 2)} = 3^{-3x + 3} $$
O outro lado da equação:
$$ \frac{1}{27} = 27^{-1} = 3^{-3} $$
Igualando os expoentes das potências de mesma base:
$$ -3x + 3 = -3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2 $$
Como \( x = 2 \) é múltiplo de 2, a alternativa correta é: d)
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