A função exponencial é uma função fundamental no estudo da matemática e possui aplicações em diversas áreas como crescimento populacional, juros compostos, fenômenos físicos e modelagens estatísticas. Entenda agora sua definição, propriedades e veja exemplos resolvidos.
📌 Definição de Função Exponencial
$$ f(x) = a^x, \text{ com } a \in \mathbb{R},\ a > 0 \text{ e } a \ne 1 $$
é chamada de função exponencial de base a.
📊 Exemplos de Funções Exponenciais
- a) \( f(x) = 2^x \)
- b) \( f(x) = (0{,}4)^x \)
- c) \( f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x \)
- d) \( f(x) = (\sqrt{5})^x \)
⚠️ Regras Importantes
Se \( a < 0 \), a função \( f(x) = a^x \) não estará definida para todos os reais.
Exemplo: \( a = -2 \), \( x = \frac{1}{2} \) → \( (-2)^{1/2} \) não está em ℝ.
Se \( a = 1 \), então \( f(x) = 1^x = 1 \), ou seja, função constante.
Se \( a = 0 \), \( f(x) = 0^x \) não está definida para todo \( x \), pois \( 0^0 \) é indeterminado.
🔍 Observações
- O domínio da função exponencial é \( \mathbb{R} \)
- A imagem é \( \mathbb{R}^+ \) (valores positivos reais)
- O gráfico sempre passa pelo ponto (0, 1)
- Funções com base maior que 1 são crescentes, menores que 1 são decrescentes
📌 Ver exemplo resolvido
Exemplo: Dê o valor de \( f(3) \) para \( f(x) = 2^x \)
Solução:
\( f(3) = 2^3 = 8 \)
📘 Exercício 1
Enunciado: Dada a função \( f(x) = 3^x \), calcule \( f(2) \).
Solução:
Substituímos o valor de x na função:
\( f(2) = 3^2 = 9 \)
Resposta: 9
📘 Exercício 2
Enunciado: Qual é o valor de \( x \) tal que \( 2^x = 16 \)?
Solução:
Sabemos que \( 16 = 2^4 \), então:
\( 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 \)
Resposta: x = 4
📘 Exercício 3
Enunciado: Resolva a equação exponencial: \( 5^x = \frac{1}{25} \)
Solução:
Sabemos que \( \frac{1}{25} = 5^{-2} \), logo:
\( 5^x = 5^{-2} \Rightarrow x = -2 \)
Resposta: x = -2
📘 Exercício 4
Enunciado: Determine \( f(-2) \), sendo \( f(x) = 4^x \)
Solução:
\( f(-2) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)
Resposta: \( \frac{1}{16} \)
📘 Exercício 5
Enunciado: Qual o valor de \( x \) que satisfaz \( 10^{x+1} = 1000 \)?
Solução:
\( 1000 = 10^3 \), então temos:
\( 10^{x+1} = 10^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \)
Resposta: x = 2
