Questão 3. (Uneb-BA) Se \( \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{256}{81} \) e \( \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 729 \), para \( x \) e \( y \) reais com \( y > 0 \), então o valor de \( y + 3x \) é:
- 01) 33
- 02) 48
- 03) 56
- 04) 69
- 05) 77
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🔎 Entendendo o enunciado:
Temos duas equações com potências envolvendo frações e devemos determinar \( y + 3x \).
1) Resolver \( \left( \frac{3}{4} \right)^x = \frac{256}{81} \):
Escrevendo como potências de primos:
$$ \left( \frac{3}{4} \right)^x = \frac{2^8}{3^4} = \left( \frac{2^4}{3^2} \right)^2 = \left( \frac{16}{9} \right)^2 $$
Então:
$$ \left( \frac{3}{4} \right)^x = \left( \frac{16}{9} \right)^2 $$
Como as bases são diferentes, invertemos:
$$ \left( \frac{3}{4} \right)^x = \left( \frac{3^2}{4^2} \right)^{-2} = \left( \frac{3}{4} \right)^{-4} $$
Logo, \( x = -4 \).
2) Resolver \( \left( \frac{y}{3} \right)^2 = 729 \):
Sabemos que:
$$ 729 = 3^6 \Rightarrow \left( \frac{y}{3} \right)^2 = 3^6 $$
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:
$$ \frac{y}{3} = 3^3 = 27 \Rightarrow y = 3 \cdot 27 = 81 $$
3) Calcular \( y + 3x \):
$$ y + 3x = 81 + 3 \cdot (-4) = 81 – 12 = 69 $$
✅ Conclusão:
- Resposta final: 69
