Questão 2: Simplificação de expressões com potências
Questão 2. (Unifor-CE) Simplificando a expressão
$$ \frac{2^{6n} – 1}{2^{6n} + 2^{3n+1} + 1}, \text{ na qual } n \in \mathbb{R}, \text{ obtém-se:} $$
- a) \( 0 \)
- b) \( 2^{3n} \)
- c) \( -\frac{1}{2^{3n}} \)
- d) \( \frac{2^{3n} + 1}{2^{3n}} \)
- e) \( \frac{2^{3n} – 1}{2^{3n} + 1} \)
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🔎 Entendendo o enunciado:
Devemos simplificar a fração envolvendo potências de base 2. Vamos usar substituições para facilitar os cálculos.
1) Substituir \( 2^{3n} = x \):
Temos:
$$ 2^{6n} = (2^{3n})^2 = x^2 $$
$$ 2^{3n+1} = 2 \cdot 2^{3n} = 2x $$
2) Substituir na expressão:
$$ \frac{x^2 – 1}{x^2 + 2x + 1} $$
3) Reconhecer produtos notáveis:
$$ x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) $$
$$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$
4) Simplificar a fração:
$$ \frac{(x – 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{x – 1}{x + 1} $$
5) Voltar para \( x = 2^{3n} \):
$$ \frac{2^{3n} – 1}{2^{3n} + 1} $$
✅ Conclusão:
- Resposta final: $$ \frac{2^{3n} – 1}{2^{3n} + 1} $$
