Confira a resolução detalhada de uma questão típica da banca VUNESP sobre Raciocínio Lógico para concursos públicos de nível superior. Aprenda o método passo a passo e prepare-se com confiança para suas provas!

(Banca VUNESP – Nível Superior – 2024 – Sequências Lógicas) A figura indica quadrados de lado 3 u.c., 4 u.c. e 5 u.c., com vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada. Inscritos a esses quadrados estão desenhados todos os possíveis quadrados, de vértices nas linhas de intersecção da malha quadriculada, todos menores do que o quadrado original. 

A tabela a seguir resume algumas informações a respeito dessa sequência de figuras.

Generalizando o padrão descrito para um quadrado de lado n, o quadrado de maior área a ele inscrito terá área, em unidades de área, igual a 

A) n² + 1. 

B) n² – 4n + 8. 

C) n² – 2n + 2. 

D) n² – n + 4. 

E) n² – n + 8.

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Para generalizar o padrão descrito para um quadrado de lado nn, vamos determinar a fórmula que representa a área do maior quadrado inscrito.

Primeiro, analisamos os dados da tabela para identificar um padrão:

• Para n = 3: Área do maior quadrado inscrito = 5
• Para n = 4: Área do maior quadrado inscrito = 10
• Para n = 5: Área do maior quadrado inscrito = 17
• Para n = 6: Área do maior quadrado inscrito = 26

A sequência das áreas é 5, 10, 17, 26, … , e as diferenças consecutivas são:

• 10 – 5 = 5
• 17 – 10 = 7
• 26 – 17 = 9

As diferenças consecutivas crescem de forma regular (5, 7, 9, …), indicando que a sequência é uma função quadrática.

A função geral para a área pode ser escrita como:

A(n) = an² + bn + c

Agora, substituímos os valores (n, A(n)) nas equações:

1. Para n = 3, A(3) = 5: 9a + 3b + c = 5
2. Para n = 4, A(4) = 10: 16a + 4b + c = 10
3. Para n = 5, A(5) = 17: 25a + 5b + c = 17

Subtraímos as equações para encontrar a, b, c:

1. (16a + 4b + c) – (9a + 3b + c) = 10 – 5: 7a + b = 5
2. (25a + 5b + c) – (16a + 4b + c) = 17 – 10: 9a + b = 7

Resolvendo as equações:

1. Subtraindo (9a + b) – (7a + b) = 7 – 5: 2a = 2   ⟹  a = 1
2. Substituindo a = 1 em 7a + b = 5: 7(1) + b = 5   ⟹  b = -2
3. Substituindo a = 1 e b = -2 em 9a + 3b + c = 5: 9(1) + 3(-2) + c = 5   ⟹  c = 2

Portanto, a fórmula geral é: A(n) = n² − 2n + 2

A alternativa correta é C) n² − 2n + 2

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