Questão 45 – Números Reais: Análise de Racionalidade
Enunciado:
Assinale a afirmação verdadeira:
- a) \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \) é irracional e \( 0{,}999\ldots \) é racional.
- b) \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \) é racional e \( 0{,}999\ldots \) é racional.
- c) \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \) é racional e \( 0{,}999\ldots \) é irracional.
- d) \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \) é irracional e \( 0{,}999\ldots \) é irracional.
- e) \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \) e \( 0{,}999\ldots \) não são números reais.
Ver Solução
Análise de: \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) \)
Esse é um produto notável da forma \( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \).
\[ (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) = (\sqrt{3})^2 – (1)^2 = 3 – 1 = 2 \]
Logo, o resultado é racional.
Análise de: \( 0{,}999\ldots \)
Esse valor é uma dízima periódica e é matematicamente equivalente a 1.
\[ 0{,}999\ldots = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{É um número racional.} \]
Portanto, a única alternativa totalmente correta é:
Letra b) – Ambas as expressões são racionais.
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