Representação matricial de um sistema linear

Qualquer sistema linear pode ser escrito como \(A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Essa forma compacta facilita escalonar, aplicar a Regra de Cramer, checar postos (ranks) e programar resoluções. Aqui você aprende a montar \(A\), \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{b}\), vê exemplos resolvidos e pratica com exercícios. Para seguir o estudo, visite: matrizes associadas, Gauss (escalonados), classificação SPD, SI, SPI, sistemas 2×2 e sistemas 3×3.

Escrever um sistema linear na forma matricial A·x=b

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Um resumo enxuto de \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), matriz aumentada, Rouché–Capelli, determinantes e métodos (substituição, adição, Gauss/Gauss–Jordan, Cramer). Ideal para revisão pré-prova.

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Definições e notação

Se o sistema tem \(m\) equações e \(n\) incógnitas \(x_1,\dots,x_n\):

Matriz dos coeficientes: \(A=[a_{ij}]\in\mathbb{R}^{m\times n}\).
Vetor de incógnitas: \(\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n}\).
Vetor dos termos independentes: \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{m}\).
Equação matricial: \(A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}\), onde \((A\mathbf{x})_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\).
Matriz aumentada: \([A\mid\mathbf{b}]\) (anexa \(\mathbf{b}\) como última coluna).

Exemplo 2×2 (da figura)

\(\begin{cases} 5x+4y=1\\ 3x+7y=2 \end{cases}\ \Longleftrightarrow\ \underbrace{\begin{bmatrix}5&4\\3&7\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}_{\mathbf{b}}\).

Resolvendo por Cramer

\(\Delta=\det(A)=5\cdot7-4\cdot3=23\neq0\Rightarrow\) SPD.

\(x=\dfrac{\det\!\begin{bmatrix}1&4\\2&7\end{bmatrix}}{\Delta} =\dfrac{7-8}{23}=-\tfrac{1}{23}\),\quad \(y=\dfrac{\det\!\begin{bmatrix}5&1\\3&2\end{bmatrix}}{\Delta} =\dfrac{10-3}{23}=\tfrac{7}{23}\).

Verificação: \(5(-1/23)+4(7/23)=(-5+28)/23=1\) ✔️ e \(3(-1/23)+7(7/23)=(-3+49)/23=2\) ✔️.

Exemplo 3×3: escrevendo e resolvendo

\(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=7\\ -x+2y-z=-1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{bmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\-1&2&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}6\\7\\-1\end{bmatrix}.\)

Eliminação curta (adição) — solução

(2)−(1): \(x-2y=1\). (3)+(1): \(3y=5\Rightarrow y=\tfrac{5}{3}\). Logo \(x=1+2y=\tfrac{13}{3}\) e, de (1), \(z=0\). \(\Rightarrow (x,y,z)=\big(\tfrac{13}{3},\tfrac{5}{3},0\big)\).

De \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) para a classificação (SPD, SI, SPI)

Use o posto (rank): com \(r=\operatorname{rank}(A)\), \(r_a=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])\) e \(n\) incógnitas:

\(r\neq r_a\Rightarrow\) SI (sem solução).
\(r=r_a=n\Rightarrow\) SPD (solução única).
\(r=r_aSPI (infinitas soluções).

Para calcular o rank na prática, escalone \([A\mid\mathbf{b}]\) (veja sistemas escalonados).

Exercícios (com gabarito)

1) Escreva na forma matricial e resolva: \(\{\,2x-3y=4,\ x+5y=1\,\}\).

Gabarito

\(A=\begin{bmatrix}2&-3\\1&5\end{bmatrix}\), \(\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}\). \(\Delta=2\cdot5-(-3)\cdot1=13\neq0\Rightarrow (x,y)=\big(\tfrac{23}{13},\tfrac{3}{13}\big)\).

2) Monte \(A\), \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{b}\) e a aumentada de \(\{\,x+y-2z=0,\ x-2y+z=3,\ 2x-y-z=-4\,\}\). Classifique.

Gabarito

\(A=\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\2&-1&-1\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}\), \([A\mid\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-2&0\\1&-2&1&3\\2&-1&-1&-4\end{array}\right]\). Escalonando surge \([0,0,0\mid-7]\) ⇒ \(rSI.

3) Dado \(A=\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\). Para quais \(k\) o sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) tem solução única? E quando é SPI?

Gabarito

Se \(k\neq0\): \(\det(A)=k\neq0\Rightarrow\) SPD com \((x,y)=(1,2/k)\). Se \(k=0\): 2ª linha vira \(0=2\) ⇒ SI (incompatível). (Se \(\mathbf{b}=(1,0)\), aí seria SPI.)

Conclusão

Escrever o sistema como \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) organiza os dados, simplifica a análise por rank e acelera a resolução por Gauss ou Cramer. Domine a montagem das matrizes, pratique a passagem para a aumentada \([A\mid\mathbf{b}]\) e decida rapidamente entre SPD, SI ou SPI.

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