Solução de um sistema linear
Entenda o que significa resolver um sistema linear: encontrar todos os \( (\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)\in\mathbb{R}^n \) que satisfazem simultaneamente todas as equações. Nesta página você verá a definição formal, como verificar soluções, escrever o conjunto solução de modo paramétrico/vetorial e reconhecer quando há nenhuma, uma ou infinitas soluções. Para completar os estudos, veja também: equação linear, classificação (SPD, SI, SPI), sistemas escalonados (Gauss) e sistemas m × n.
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Operações de linha, Gauss/Gauss–Jordan, critérios SPD–SI–SPI, forma paramétrica e muito mais. Perfeito para revisão antes de listas e provas.
Quero o eBook Ver coleção 10 eBooksDefinição de solução e conjunto solução
Seja \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) um sistema linear com incógnitas \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\). Um vetor \(\mathbf{x}^\*\in\mathbb{R}^n\) é solução se torna verdade todas as equações ao substituirmos \(x_i\mapsto \beta_i\). O conjunto solução é:
\[ S=\{\ (\beta_1,\ldots,\beta_n)\in\mathbb{R}^n\ :\ A(\beta_1,\ldots,\beta_n)^T=\mathbf{b}\ \}. \]
Pela Regra de Rouché–Capelli, um sistema pode ser: SI (sem solução), SPD (solução única) ou SPI (infinitas soluções).
Como verificar se um vetor é solução
- Substitua os valores propostos \((\beta_1,\ldots,\beta_n)\) em todas as equações.
- Simplifique: se todas as igualdades forem verdade, o vetor é solução; se alguma falhar, não é.
- Para sistemas lineares, a verificação é mecânica e rápida.
Dica: depois de resolver por Gauss, teste a solução voltando às equações originais.
Sistema com infinitas soluções e sistema sem solução
1) Infinitas soluções (duas equações independentes, 3 incógnitas)
\(\begin{cases} x-2y-z=0\\ 5y+4z=2\\ 5y+4z=2 \end{cases}\)
Da 2ª: \(y=\dfrac{2-4z}{5}\). Da 1ª: \(x=2y+z=\dfrac{4-8z}{5}+z=\dfrac{4-3z}{5}\). Com parâmetro \(z=t\in\mathbb{R}\):
\[ S=\left\{\Big(\tfrac{4-3t}{5},\ \tfrac{2-4t}{5},\ t\Big):\ t\in\mathbb{R}\right\}. \]
Exemplo de solução: para \(t=0\), \((x,y,z)=\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5},0\right)\).
2) Sistema sem solução (contradição nos valores de \(y\))
\(\begin{cases} x+y=3\\ -3y=-1\\ 5y=9 \end{cases}\Rightarrow y=\dfrac{1}{3}\ \text{e}\ y=\dfrac{9}{5}\) (incompatível) \(\Rightarrow S=\varnothing\) (SI).
Mais exemplos resolvidos
Exemplo A — Solução única (SPD)
\(\begin{cases}x+y=5\\2x-y= -1\end{cases}\)
Passo a passo
Da 1ª \(y=5-x\). Substituindo na 2ª: \(2x-(5-x)=-1\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}\). Logo \(y=5-\tfrac{4}{3}=\tfrac{11}{3}\). Verificação: \(x+y=5\) e \(2x-y=-1\) OK. Solução: \(\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{11}{3}\right)\).
Exemplo B — Forma paramétrica e vetorial
\(\begin{cases}x-y=1\\2x-2y=2\end{cases}\) (2 equações proporcionais).
Conjunto solução
Da 1ª \(x=1+y\). Tome \(y=t\) livre: \((x,y)=(1+t,t)=(1,0)+t(1,1)\). Forma vetorial: \(\mathbf{x}=\mathbf{x_p}+t\,\mathbf{v_1}\) com \(\mathbf{x_p}=(1,0)\), \(\mathbf{v_1}=(1,1)\).
Exercícios (com soluções)
1) Verifique se \((2,1)\) resolve \(\{\,x+y=3,\ 2x-y=3\,\}\).
Mostrar solução
\(2+1=3\) e \(2\cdot2-1=3\). Verdade em ambas ⇒ é solução.
2) Encontre \(S\) de \(\{\,x-2y-z=0,\ 5y+4z=2\,\}\) (3 incógnitas).
Mostrar solução
Como acima: \(y=\dfrac{2-4z}{5}\), \(x=\dfrac{4-3z}{5}\), \(z=t\). \(S=\{(\tfrac{4-3t}{5},\tfrac{2-4t}{5},t):t\in\mathbb{R}\}\).
3) Mostre que \(\{\,3x-2y=1,\ 6x-4y=3\,\}\) é SI.
Mostrar solução
Multiplique a 1ª por 2: \(6x-4y=2\neq3\) ⇒ contradição ⇒ sem solução.
4) Resolva \(\{\,x+2y+z=6,\ 2x-y+z=5,\ x+y-z=1\,\}\).
Mostrar solução
Subtraindo: \( (2)-(1)\Rightarrow x-3y=-1\); \( (1)-(3)\Rightarrow y+2z=5\). De \(x=-1+3y\) e \(4y-z=2\Rightarrow z=4y-2\). Em \(y+2z=5\Rightarrow y+8y-4=5\Rightarrow y=1\). Logo \(z=2\) e \(x=2\). Solução: \((2,1,2)\).
5) Escreva em forma vetorial o conjunto solução de \(\{\,x-y=1,\ 2x-2y=2\,\}\) com a variável extra \(z\) livre.
Mostrar solução
\(x=1+y\), \(y=t\), \(z=s\). \(\mathbf{x}=(x,y,z)=(1+t,t,s)=(1,0,0)+t(1,1,0)+s(0,0,1)\) ⇒ infinitas soluções.
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Conclusão
Resolver um sistema linear é descrever completamente o conjunto \(S\). Use Gauss para escalonar, aplique a Regra de Rouché–Capelli para decidir existência/quantidade e escreva o resultado (único ponto, conjunto vazio ou família paramétrica/vetorial).
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