Questão 30. Determine o conjunto solução da inequação:
$$ (2x – 5)(x – 4) – 7 \geq (x – 2)(x – 3) $$
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🔎 Etapa 1: Desenvolver os dois lados
Esquerda:
$$ (2x – 5)(x – 4) = 2x^2 – 8x – 5x + 20 = 2x^2 – 13x + 20 $$
$$ (2x – 5)(x – 4) – 7 = 2x^2 – 13x + 13 $$
Direita:
$$ (x – 2)(x – 3) = x^2 – 3x – 2x + 6 = x^2 – 5x + 6 $$
🔎 Etapa 2: Trazer todos os termos para um lado
$$ 2x^2 – 13x + 13 \geq x^2 – 5x + 6 $$
$$ 2x^2 – 13x + 13 – x^2 + 5x – 6 \geq 0 $$
$$ x^2 – 8x + 7 \geq 0 $$
🔎 Etapa 3: Resolver a inequação
$$ x^2 – 8x + 7 = 0 \Rightarrow \Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 – 28 = 36 $$
$$ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ ou } x = 7 $$
Como a parábola é voltada para cima, temos:
- \( f(x) \geq 0 \) fora do intervalo entre as raízes
✅ Conclusão:
- Solução: \( x \leq 1 \) ou \( x \geq 7 \)
