1) Conceito de Reta Tangente

A reta tangente a uma curva em um ponto \(P\) é a reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele instante:

\(m = f'(x_0)\)

Logo, a equação da reta tangente no ponto \(P(x_0, y_0)\) é:

\(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\)

Gráfico ilustrando a reta tangente tocando a curva no ponto P
Reta tangente: inclinação \(m=f'(x_0)\) coincide com a inclinação da curva em \(P\).

2) Conceito de Reta Secante

A reta secante passa por dois pontos distintos da curva e representa a inclinação média entre eles:

\(m = \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)

Gráfico com reta secante passando pelos pontos A e B da curva
Reta secante: inclinação média entre \(A(x_1,f(x_1))\) e \(B(x_2,f(x_2))\).

3) Relação entre Tangente, Secante e Derivada

Sejam \(P(x_0, f(x_0))\) e \(Q(x_0+h, f(x_0+h))\) na curva:

  • Secante: Inclinação média: \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).
  • Tangente: Limite da inclinação da secante quando \(Q \to P\):

\(m = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0)\)

Resumo: A tangente é um caso limite da secante quando os dois pontos se aproximam.

4) Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Equação da reta tangente

Enunciado: Encontre a equação da reta tangente à curva \(f(x)=x^2\) no ponto \(P(2,4)\).

Passo 1: \(f'(x)=2x \Rightarrow m=f'(2)=4\).

Passo 2: \(y-4=4(x-2)\Rightarrow \boxed{y=4x-4}\).

Exemplo 2 — Equação da reta secante

Enunciado: Encontre a reta secante à curva \(f(x)=x^2\) passando por \(A(1,1)\) e \(B(3,9)\).

Passo 1: \(m=\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4\).

Passo 2: Usando \(A(1,1)\): \(y-1=4(x-1)\Rightarrow \boxed{y=4x-3}\).

5) Exercícios Propostos

Pratique para consolidar os conceitos de tangentes e secantes:

  1. Determine a equação da reta tangente à curva \(f(x)=x^3\) no ponto \(P(1,1)\).
  2. Encontre a equação da reta secante à curva \(f(x)=\sqrt{x}\) passando por \((1,1)\) e \((4,2)\).
  3. Mostre que, para \(f(x)=x^2+2x\), a inclinação da tangente em \(x=1\) é o limite da inclinação da secante quando os pontos se aproximam.
  4. Para \(f(x)=\ln(x)\), encontre a equação da reta tangente no ponto \(x=1\).
  5. Calcule a reta secante ao gráfico de \(f(x)=e^x\) passando por \((0,1)\) e \((1,e)\).