Critério Lado-Lado-Lado (LLL)

Se os três lados de um triângulo são proporcionais aos lados de outro triângulo, então os dois triângulos são semelhantes.

Exemplo matemático:

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF \]

📌 Conclusão

Os critérios de semelhança (AA, LAL e LLL) são ferramentas poderosas para identificar figuras semelhantes. Dominando esses casos, você ganha agilidade para resolver problemas de matemática, geometria, arquitetura e até design gráfico.

🔺 Propriedade da Semelhança de Triângulos

No estudo da geometria, compreender as relações entre figuras semelhantes é essencial, especialmente no caso dos triângulos. Uma propriedade muito importante é a que relaciona retas paralelas a um lado do triângulo, como veremos neste artigo.

📌 Construção geométrica

Considere o triângulo ABC. Vamos traçar uma reta r paralela ao lado \(\overline{BC}\), de modo que essa reta intersecte os lados \(\overline{AB}\) e \(\overline{AC}\) nos pontos P e Q, respectivamente.

Propriedade da Semelhança de Triângulos

Sabemos que retas paralelas formam ângulos correspondentes congruentes. Assim, temos:

\(\hat{P} \cong \hat{B} \quad \text{e} \quad \hat{Q} \cong \hat{C}\)

Isso mostra que os triângulos APQ e ABC possuem dois pares de ângulos ordenadamente congruentes. De acordo com o caso AA de semelhança, concluímos que:

\(\triangle APQ \sim \triangle ABC\)

📌 Conclusão geral

Portanto, podemos afirmar uma propriedade fundamental da semelhança de triângulos:

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos determina um novo triângulo semelhante ao triângulo original.

📚 Aplicações práticas

• Medição de alturas inacessíveis por semelhança de triângulos.
• Redução ou ampliação de figuras mantendo a forma geométrica.
• Compreensão do Teorema de Tales.

Esse princípio é amplamente explorado em problemas de geometria, no ENEM e em concursos públicos.

📐 Consequências da Semelhança de Triângulos

A semelhança entre triângulos vai além da igualdade de ângulos e proporcionalidade de lados. A partir dessa relação, podemos deduzir diversas propriedades importantes que são extremamente úteis para resolver problemas geométricos, especialmente em provas e concursos.

🔸 1ª Consequência – Proporcionalidades derivadas

Se a razão de semelhança entre as medidas dos lados de dois triângulos é igual a k, então:

• A razão entre os perímetros também é k.
• A razão entre as medidas de duas alturas homólogas também é k.
• A razão entre as medidas de duas bissetrizes homólogas também é k.
• A razão entre as áreas dos triângulos é k².

📘 Demonstração da razão entre áreas

Considere os triângulos \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \), com lados correspondentes tais que:

Demonstração da razão entre áreas

\(\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = k\)

Considerando as alturas homólogas \( h \) e \( H \), temos:

\(\dfrac{h}{H} = k\)

As áreas dos triângulos são dadas por:

\(\text{Área}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot h\)
\(\text{Área}_{DEF} = \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot H\)

Fazendo a razão entre as áreas:

\(\dfrac{\text{Área}_{ABC}}{\text{Área}_{DEF}} = \dfrac{BC \cdot h}{EF \cdot H} = \dfrac{BC}{EF} \cdot \dfrac{h}{H} = k \cdot k = k^2\)

Portanto, concluímos que a razão entre as áreas de triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

🔸 2ª Consequência – Segmento médio

Se um segmento de reta une os pontos médios de dois lados de um triângulo, esse segmento é paralelo ao terceiro lado e sua medida é metade dele.

📘 Demonstração

Segmento médio

Considere o triângulo \( \triangle ABC \), com \( M \) e \( N \) sendo os pontos médios de \( \overline{AB} \) e \( \overline{AC} \), respectivamente. O segmento \( \overline{MN} \) une esses pontos.

Os triângulos \( \triangle AMN \) e \( \triangle ABC \) são semelhantes pelo caso LAL, pois:

• \(\angle A\) é comum a ambos
• \(AM = MB\) e \(AN = NC\)

Portanto:

\(\triangle AMN \sim \triangle ABC\)

Da semelhança, segue-se que:

\(\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{1}{2} \quad \text{e} \quad MN \parallel BC\)

Ou seja, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade dele.

📌 Por que isso importa?

Essas propriedades são frequentemente cobradas em questões de:

• ENEM e vestibulares
• Concursos públicos
• Problemas geométricos com figuras semelhantes

Dominar essas consequências acelera a resolução de exercícios e fortalece sua compreensão das figuras planas.

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🔢 Questão 5 — Triângulos Semelhantes

Observe a figura a seguir e determine o valor de \( x \).

▶ Ver solução passo a passo

✅ Solução passo a passo:

De acordo com a figura, os lados \( \overline{BC} \) e \( \overline{DC} \) são congruentes, assim como os ângulos \( \angle \widehat{B} \) e \( \angle \widehat{D} \) e os ângulos \( \angle \widehat{BCA} \) e \( \angle \widehat{DCE} \), que são opostos pelo vértice.

Portanto, pelos critérios de semelhança (caso AA), temos:

\( \triangle BCA \sim \triangle DCE \)

A razão de semelhança é 1, já que:

\( \dfrac{BC}{DC} = \dfrac{25}{25} = 1 \)

Como são semelhantes com razão 1, os triângulos também são congruentes.

Assim, os lados correspondentes são iguais. Logo:

\( \overline{AC} = \overline{EC} \Rightarrow 3x – 8 = 25 \)

Resolvendo a equação:

\( 3x – 8 = 25 \)
\( \Rightarrow 3x = 25 + 8 \)
\( \Rightarrow 3x = 33 \)
\( \Rightarrow x = \dfrac{33}{3} = 11 \)

🔎 Resposta final: x = 11

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