Soma dos Ângulos Externos do Triângulo

Soma dos Ângulos Externos do Triângulo (α + β + θ = 360°): teoria, exemplos e exercícios

Soma dos Ângulos Externos do Triângulo — \( \alpha + \beta + \theta = 360^\circ \)

Veja por que os três ângulos externos (um em cada vértice) somam 360°, como relacioná-los com os ângulos internos e como aplicar em questões.

Ideia-chave: escolhendo um ângulo externo em cada vértice do triângulo (o que é suplementar ao interno adjacente), a soma deles é sempre 360°.

Regra principal: \( \alpha_{\text{ext}} + \beta_{\text{ext}} + \theta_{\text{ext}} = 360^\circ \)

Como cada externo é suplementar ao interno: \( \alpha_{\text{ext}} = 180^\circ – \alpha_{\text{int}} \) (e assim por diante).

Triângulo com ângulos externos α, β e θ indicando que a soma é 360°
Imagem: matematicaoje.blog — soma dos ângulos externos

Por que os ângulos externos somam 360°?

Os três ângulos externos, um em cada vértice, formam um giro completo em torno do triângulo. Outra forma de ver é pela relação com os internos:

\(\alpha_e = 180^\circ – \alpha_i\) \(\beta_e = 180^\circ – \beta_i\) \(\theta_e = 180^\circ – \theta_i\) \(\alpha_e+\beta_e+\theta_e = 3\cdot 180^\circ – (\alpha_i+\beta_i+\theta_i)\) \(\alpha_e+\beta_e+\theta_e = 540^\circ – 180^\circ\) \(\alpha_e+\beta_e+\theta_e = 360^\circ\)

Observe como a soma dos internos \(=180^\circ\) entra naturalmente na dedução.

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Exemplos resolvidos (passo a passo)

Exemplo 1 — Somando externos diretamente

No triângulo, os ângulos externos medem \(120^\circ\), \(95^\circ\) e \(x\). Calcule \(x\).

\(120^\circ + 95^\circ + x = 360^\circ\) \(215^\circ + x = 360^\circ\) \(x = 360^\circ – 215^\circ\) \(x = 145^\circ\)

Exemplo 2 — Usando a relação com ângulos internos

Em um triângulo, os ângulos internos são \( \alpha_i=50^\circ \), \( \beta_i=61^\circ \) e \( \theta_i=69^\circ \). Encontre a soma dos externos correspondentes.

\(\alpha_e = 180^\circ – 50^\circ = 130^\circ\) \(\beta_e = 180^\circ – 61^\circ = 119^\circ\) \(\theta_e = 180^\circ – 69^\circ = 111^\circ\) \(\alpha_e + \beta_e + \theta_e = 130^\circ + 119^\circ + 111^\circ\) \(= 360^\circ\)

Exemplo 3 — Com incógnitas algébricas

Os ângulos externos de um triângulo são \( (x+20)^\circ \), \( (2x-10)^\circ \) e \( (3x-50)^\circ \). Encontre \(x\) e os ângulos.

\((x+20) + (2x-10) + (3x-50) = 360\) \(6x – 40 = 360\) \(6x = 360 + 40\) \(6x = 400\) \(x = \dfrac{400}{6}\) \(x \approx 66{,}67\) Ângulos: \(86{,}67^\circ\), \(123{,}33^\circ\), \(150^\circ\)

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Exercícios propostos (com toggle)

Resolva e depois abra o abre/fecha para conferir. Mantenha as contas uma abaixo da outra após o “=” para melhor leitura em celulares.

1) Discursiva — Sinalização urbana

Uma placa triangular é instalada formando com o chão um ângulo externo de \(112^\circ\) em um vértice e \(x\) no segundo. No terceiro vértice, o externo mede \(128^\circ\). Calcule \(x\).

Ver solução
\(112^\circ + x + 128^\circ = 360^\circ\) \(x + 240^\circ = 360^\circ\) \(x = 360^\circ – 240^\circ\) \(x = 120^\circ\)

2) Múltipla escolha — Projeto de telhado

Os ângulos externos são \(x\), \(2x\) e \(3x\). O valor de \(x\) é:

  1. \(30^\circ\)
  2. \(45^\circ\)
  3. \(60^\circ\)
  4. \(90^\circ\)
Mostrar alternativa correta
\(x + 2x + 3x = 360^\circ\) \(6x = 360^\circ\) \(x = \dfrac{360^\circ}{6}\) \(x = 60^\circ\)

Resposta: Letra C.

3) Discursiva — Relação com o interno

Em um vértice, o interno mede \(38^\circ\). Qual é o ângulo externo correspondente? Em seguida, suponha que os outros dois externos sejam \(x\) e \(y\) e calcule \(x+y\).

Ver solução
Externo \(= 180^\circ – 38^\circ\) Externo \(= 142^\circ\) Soma dos três externos \(= 360^\circ\) Logo, \(x + y = 360^\circ – 142^\circ\) \(x + y = 218^\circ\)

4) Múltipla escolha — Expressões algébricas

Se os externos são \( (x+15)^\circ \), \( (2x+25)^\circ \) e \( (3x-40)^\circ \), então \(x\) vale:

  1. 40
  2. 45
  3. 50
  4. 55
Mostrar resposta
\((x+15) + (2x+25) + (3x-40) = 360\) \(6x = 360\) \(x = \dfrac{360}{6}\) \(x = 60\)

Gabarito: nenhuma das alternativas (boa checagem de atenção). Ajuste para incluir 60 nas opções.

5) Discursiva — Revisão com inteiros e “jogo de sinais”

Para treinar aritmética: calcule \(+360 – [ (+95) + (-120) ]\), aplicando as regras de sinais de operações com números inteiros.

Ver solução (inteiros)
\(+360 – ( +95 + (-120) )\) \(= +360 – ( -25 )\) \(= +360 + 25\) \(= 385\)

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Conclusão

Escolhendo um ângulo externo em cada vértice, sua soma é sempre 360°. Essa propriedade facilita contas, permite montar equações simples e aparece com frequência em provas (inclusive no ENEM). Consolide a ideia praticando várias configurações e relacionando com os ângulos internos.

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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